а) Решите уравнение 2cos x - 2sqrt(3)cos(-x) - 4sin^2 x = sqrt(3) - 4 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 2pi; (7pi)/(2)] .

Упростим уравнение, используя чётность косинуса: cos(-x) = cos x . 2cos x - 2sqrt(3)cos x - 4sin^2 x = sqrt(3) - 4. (2 - 2sqrt(3))cos x - 4sin^2 x = sqrt(3) - 4. Выразим sin^2 x = 1 - cos^2 x : (2 - 2sqrt(3))cos x - 4(1 - cos^2 x) = sqrt(3) - 4. Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну сторону: (2 - 2sqrt(3))cos x - 4 + 4cos^2 x = sqrt(3) - 4. (2 - 2sqrt(3))cos x + 4cos^2 x = sqrt(3). Умножим на 1 для удобства: 4cos^2 x + (2 - 2sqrt(3))cos x - sqrt(3) = 0. Сделаем замену t = cos x : 4t^2 + (2 - 2sqrt(3))t - sqrt(3) = 0. Найдём дискриминант: D = (2 - 2sqrt(3))^2 + 16sqrt(3) = 4 - 8sqrt(3) + 12 + 16sqrt(3) = 16 + 8sqrt(3). sqrt(D) = sqrt(16 + 83) = sqrt(4(4 + 23)) = 2sqrt(4 + 23). Заметим, что 4 + 2sqrt(3) = (sqrt(3) + 1)^2 , тогда sqrt(D) = 2(sqrt(3) + 1) . t = (-(2 - 2sqrt(3)) +- 2(sqrt(3) + 1))/(8). Рассмотрим два случая: 1) t_1 = (-2 + 2sqrt(3) + 2sqrt(3) + 2)/(8) = (4sqrt(3))/(8) = (sqrt(3))/(2) . 2) t_2 = (-2 + 2sqrt(3) - 2sqrt(3) - 2)/(8) = (-4)/(8) = -(1)/(2) . Итак, cos x = (sqrt(3))/(2) или cos x = -(1)/(2) . Решаем первое уравнение: x = +-(pi)/(6) + 2pi k, kin Z . Решаем второе уравнение: x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, kin Z . б) Отберём корни на отрезке [2pi; (7pi)/(2)] . Начнём с серии x = (pi)/(6) + 2pi k : При k=1 : x = (pi)/(6) + 2pi = (13pi)/(6)~ 2,167piin [2pi; 3.5pi] — подходит. При k=2 : x = (pi)/(6) + 4pi = (25pi)/(6)~ 4,167pi > 3.5pi — не подходит. Серия x = -(pi)/(6) + 2pi k : При k=1 : x = -(pi)/(6) + 2pi = (11pi)/(6)~ 1,833pi < 2pi — не подходит. При k=2 : x = -(pi)/(6) + 4pi = (23pi)/(6)~ 3,833piin [2pi; 3.5pi] — подходит. Серия x = (2pi)/(3) + 2pi k : При k=1 : x = (2pi)/(3) + 2pi = (8pi)/(3)~ 2,667piin [2pi; 3.5pi] — подходит. При k=2 : x = (2pi)/(3) + 4pi = (14pi)/(3)~ 4,667pi > 3.5pi — не подходит. Серия x = -(2pi)/(3) + 2pi k : При k=1 : x = -(2pi)/(3) + 2pi = (4pi)/(3)~ 1,333pi < 2pi — не подходит. При k=2 : x = -(2pi)/(3) + 4pi = (10pi)/(3)~ 3,333piin [2pi; 3.5pi] — подходит. Ответ: а) x = +-(pi)/(6) + 2pi k, kin Z и x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, kin Z б) (13pi)/(6), (23pi)/(6), (8pi)/(3), (10pi)/(3)

а) \( x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{23\pi}{6}, \dfrac{8\pi}{3}, \dfrac{10\pi}{3} \)