Задача №15104

а) Решите уравнение $2\cos x-2\sqrt{3}\cos (-x)-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя чётность косинуса: $\cos (-x)=\cos x\text{.}$

$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$ $$(2-2\sqrt{3})\cos x-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$

Выразим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x\text{:}$

$$(2-2\sqrt{3})\cos x-4(1-{\cos }^{2}x)=\sqrt{3}-4.$$

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$(2-2\sqrt{3})\cos x-4+4{\cos }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$ $$(2-2\sqrt{3})\cos x+4{\cos }^{2}x=\sqrt{3}.$$

Умножим на 1 для удобства:

$$4{\cos }^{2}x+(2-2\sqrt{3})\cos x-\sqrt{3}=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x\text{:}$

$$4t^2+(2-2\sqrt{3})t-\sqrt{3}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2-2\sqrt{3}{)}^2+16\sqrt{3}=4-8\sqrt{3}+12+16\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}.$$ $$\sqrt{D}=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=\sqrt{4(4+2\sqrt{3})}=2\sqrt{4+2\sqrt{3}}.$$

Заметим, что $4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1{)}^2\text{,}$ тогда $\sqrt{D}=2(\sqrt{3}+1)\text{.}$

$$t=\frac{-(2-2\sqrt{3})\pm 2(\sqrt{3}+1)}{8}.$$

Рассмотрим два случая:

1) $t_1=\frac{-2+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2}{8}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$
2) $t_2=\frac{-2+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\text{.}$

Итак, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x=-\frac{1}{2}\text{.}$

Решаем первое уравнение: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
Решаем второе уравнение: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Начнём с серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
При $k=1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}\approx 2,167\pi \in [2\pi ;3.5\pi ]$ — подходит.
При $k=2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{25\pi }{6}\approx 4,167\pi >3.5\pi$ — не подходит.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
При $k=1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}\approx 1,833\pi <2\pi$ — не подходит.
При $k=2\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}\approx 3,833\pi \in [2\pi ;3.5\pi ]$ — подходит.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
При $k=1\text{:}$ $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}\approx 2,667\pi \in [2\pi ;3.5\pi ]$ — подходит.
При $k=2\text{:}$ $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{14\pi }{3}\approx 4,667\pi >3.5\pi$ — не подходит.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
При $k=1\text{:}$ $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}\approx 1,333\pi <2\pi$ — не подходит.
При $k=2\text{:}$ $x=-\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{10\pi }{3}\approx 3,333\pi \in [2\pi ;3.5\pi ]$ — подходит.

Ответ:
а) $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ и $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{13\pi }{6},\frac{23\pi }{6},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3}$