а) Решите уравнение cos 2x - sqrt(2)cos( (3pi)/(2) + x) - 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ (3pi)/(2); 3pi].

а) Упростим косинус суммы: cos( (3pi)/(2) + x) = cos(3pi)/(2)cos x - sin(3pi)/(2)sin x = 0*cos x - (-1) *sin x = sin x. Подставляем в уравнение: cos 2x - sqrt(2)sin x - 1 = 0. Используем формулу cos 2x = 1 - 2sin^2 x: 1 - 2sin^2 x - sqrt(2)sin x - 1 = 0=> -2sin^2 x - sqrt(2)sin x = 0=>sin x (2sin x + sqrt(2)) = 0. Отсюда sin x = 0 или sin x = -(sqrt(2))/(2). Решаем: sin x = 0=> x = pi k, kin Z. sin x = -(sqrt(2))/(2)=> x = (-1)^n( -(pi)/(4)) + pi n = -(pi)/(4) + pi n, nin Z. (Эквивалентно двум сериям: x = -(pi)/(4) + 2pi m и x = -(3pi)/(4) + 2pi m, min Z.) б) Отрезок [ (3pi)/(2); 3pi]. Для x = pi k: k=2 даёт x=2pi, k=3 даёт x=3pi, оба входят. Для x = -(pi)/(4) + pi n: рассматриваем как две серии. Первая: x = -(pi)/(4) + 2pi m. Найдём m: (3pi)/(2) -(pi)/(4) + 2pi m 3pi=>(7pi)/(4) 2pi m (13pi)/(4)=>(7)/(8) m (13)/(8)=> m=1=> x = (7pi)/(4). Вторая: x = -(3pi)/(4) + 2pi m: (3pi)/(2) -(3pi)/(4) + 2pi m 3pi=>(9pi)/(4) 2pi m (15pi)/(4)=>(9)/(8) m (15)/(8)=> нет целых m. Ответ: а) x = pi k, kin Z ; x = -(pi)/(4) + pi n, nin Z (или x = -(pi)/(4) + 2pi m, min Z и x = -(3pi)/(4) + 2pi m, min Z ) б) 2pi, 3pi, (7pi)/(4)

а) \(x = \pi k, x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}\) б) \(2\pi, 3\pi, \dfrac{7\pi}{4}\)