Задача №15103

а) Решите уравнение
$\cos 2x-\sqrt{2}\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right].$

а) Упростим косинус суммы:

$$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\cos \frac{3\pi }{2}\cos x-\sin \frac{3\pi }{2}\sin x=0\cdot \cos x-(-1)\cdot \sin x=\sin x.$$

Подставляем в уравнение:

$$\cos 2x-\sqrt{2}\sin x-1=0.$$

Используем формулу $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$1-2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x-1=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x=0\Rightarrow \sin x(2\sin x+\sqrt{2})=0.$$

Отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$
Решаем:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$ $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^n\left(-\frac{\pi }{4}\right)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

(Эквивалентно двум сериям: $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi m$ и $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi m\text{,}$ $m\in \mathbb{Z}\text{.}$)

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$
Для $x=\pi k\text{:}$ $k=2$ даёт $x=2\pi \text{,}$ $k=3$ даёт $x=3\pi \text{,}$ оба входят.
Для $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\text{:}$ рассматриваем как две серии.
Первая: $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi m\text{.}$ Найдём $m\text{:}$

$$\frac{3\pi }{2}⩽-\frac{\pi }{4}+2\pi m⩽3\pi \Rightarrow \frac{7\pi }{4}⩽2\pi m⩽\frac{13\pi }{4}\Rightarrow \frac{7}{8}⩽m⩽\frac{13}{8}\Rightarrow m=1\Rightarrow x=\frac{7\pi }{4}.$$

Вторая: $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi m\text{:}$

$$\frac{3\pi }{2}⩽-\frac{3\pi }{4}+2\pi m⩽3\pi \Rightarrow \frac{9\pi }{4}⩽2\pi m⩽\frac{15\pi }{4}\Rightarrow \frac{9}{8}⩽m⩽\frac{15}{8}\Rightarrow \text{нет целых }m.$$

Ответ:
а) $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ (или $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$ и $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$)

б) $2\pi ,3\pi ,\frac{7\pi }{4}$