а) Решите уравнение sin 2x + sqrt(2)sin(x + pi) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -4pi; -(5pi)/(2)] .

Упростим уравнение sin 2x + sqrt(2)sin(x + pi) = 0 . Используем формулу приведения: sin(x + pi) = -sin x . Получаем: sin 2x + sqrt(2)(-sin x) = 0 <=> sin 2x - sqrt(2)sin x = 0. Применяем формулу двойного угла: sin 2x = 2sin xcos x : 2sin xcos x - sqrt(2)sin x = 0 <=> sin x (2cos x - sqrt(2)) = 0. Отсюда: 1) sin x = 0 => x = pi k, kin Z ; 2) 2cos x - sqrt(2) = 0 => cos x = (sqrt(2))/(2) => x = +-(pi)/(4) + 2pi n, nin Z . б) Найдем корни на отрезке [ -4pi; -(5pi)/(2)] : - Для x = pi k : решим неравенство -4pi pi k -(5pi)/(2) . Делим на pi : -4 k -2.5 . Целые k = -4, -3 . Соответствующие корни: при k=-4 : x = -4pi ; при k=-3 : x = -3pi . - Для x = (pi)/(4) + 2pi n : неравенство -4pi (pi)/(4) + 2pi n -(5pi)/(2) . Делим на pi : -4 (1)/(4) + 2n -2.5=> -4.25 2n -2.75=> -2.125 n -1.375 . Единственное целое n = -2 . При n=-2 : x = (pi)/(4) - 4pi = -(15pi)/(4) . - Для x = -(pi)/(4) + 2pi n : неравенство -4pi -(pi)/(4) + 2pi n -(5pi)/(2)=> -4 -(1)/(4) + 2n -2.5=> -3.75 2n -2.25=> -1.875 n -1.125 . Нет целых n . Итак, корни на отрезке: -4pi, -3pi, -(15pi)/(4) . Ответ: а) x = pi k, kin Z ; x = +-(pi)/(4) + 2pi n, nin Z . б) -4pi, -3pi, -(15pi)/(4) .

\(\text{а) }\pi k, \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, k,n\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }-4\pi; -3\pi; -\dfrac{15\pi}{4}.\)