Задача №15100

а) Решите уравнение
$\sin 2x+\sqrt{2}\sin (x+\pi )=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение $\sin 2x+\sqrt{2}\sin (x+\pi )=0\text{.}$

Используем формулу приведения: $\sin (x+\pi )=-\sin x\text{.}$ Получаем:

$$\sin 2x+\sqrt{2}(-\sin x)=0\iff \sin 2x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Применяем формулу двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0\iff \sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0.$$

Отсюда:
1) $\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$
2) $2\cos x-\sqrt{2}=0\Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]\text{:}$

• Для $x=\pi k\text{:}$ решим неравенство $-4\pi ⩽\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\text{.}$ Делим на $\pi \text{:}$ $-4⩽k⩽-2.5\text{.}$ Целые $k=-4,-3\text{.}$ Соответствующие корни: при $k=-4\text{:}$ $x=-4\pi \text{;}$ при $k=-3\text{:}$ $x=-3\pi \text{.}$

• Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ неравенство $-4\pi ⩽\frac{\pi }{4}+2\pi n⩽-\frac{5\pi }{2}\text{.}$ Делим на $\pi \text{:}$ $-4⩽\frac{1}{4}+2n⩽-2.5\Rightarrow -4.25⩽2n⩽-2.75\Rightarrow -2.125⩽n⩽-1.375\text{.}$ Единственное целое $n=-2\text{.}$ При $n=-2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{4}-4\pi =-\frac{15\pi }{4}\text{.}$

• Для $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ неравенство $-4\pi ⩽-\frac{\pi }{4}+2\pi n⩽-\frac{5\pi }{2}\Rightarrow -4⩽-\frac{1}{4}+2n⩽-2.5\Rightarrow -3.75⩽2n⩽-2.25\Rightarrow -1.875⩽n⩽-1.125\text{.}$ Нет целых $n\text{.}$

Итак, корни на отрезке: $-4\pi ,-3\pi ,-\frac{15\pi }{4}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $-4\pi ,-3\pi ,-\frac{15\pi }{4}\text{.}$