а) Решите уравнение cos 2x + sqrt(2)cos(x + pi) + 1 = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4pi; -(5pi)/(2)] .

а) Упростим уравнение: cos 2x + sqrt(2)cos(x + pi) + 1 = 0 . По формуле приведения cos(x + pi) = -cos x . Получаем: cos 2x - sqrt(2)cos x + 1 = 0 . Используем формулу двойного угла: cos 2x = 2cos^2 x - 1 . Подставляем: 2cos^2 x - 1 - sqrt(2)cos x + 1 = 0=> 2cos^2 x - sqrt(2)cos x = 0. Выносим общий множитель: cos x (2cos x - sqrt(2)) = 0. Отсюда: 1) cos x = 0=> x = (pi)/(2) + pi k,kin Z . 2) cos x = (sqrt(2))/(2)=> x = +-(pi)/(4) + 2pi n,nin Z . б) Найдём корни на отрезке [-4pi; -(5pi)/(2)] . Для x = (pi)/(2) + pi k : Решаем неравенство: -4pi (pi)/(2) + pi k -(5pi)/(2) . Делим на pi : -4 (1)/(2) + k -(5)/(2) . Вычитаем (1)/(2) : -(9)/(2) k -3 . Целые k : -4 и -3 . При k = -4 : x = (pi)/(2) - 4pi = -(7pi)/(2) . При k = -3 : x = (pi)/(2) - 3pi = -(5pi)/(2) . Для x = (pi)/(4) + 2pi n : Решаем неравенство: -4pi (pi)/(4) + 2pi n -(5pi)/(2) . Делим на pi : -4 (1)/(4) + 2n -(5)/(2) . Умножаем на 4: -16 1 + 8n -10 . Вычитаем 1: -17 8n -11=> -(17)/(8) n -(11)/(8) . Целое n : только -2 . При n = -2 : x = (pi)/(4) - 4pi = -(15pi)/(4) . Для x = -(pi)/(4) + 2pi n : Решаем неравенство: -4pi -(pi)/(4) + 2pi n -(5pi)/(2) . Делим на pi : -4 -(1)/(4) + 2n -(5)/(2) . Умножаем на 4: -16 -1 + 8n -10 . Прибавляем 1: -15 8n -9=> -(15)/(8) n -(9)/(8) . Целое n : только -1 , но при n = -1 : x = -(pi)/(4) - 2pi = -(9pi)/(4) , что больше -(5pi)/(2) , т.е. не входит в отрезок. Таким образом, подходящие корни: -(7pi)/(2) , -(5pi)/(2) , -(15pi)/(4) . Ответ: -(7pi)/(2),-(5pi)/(2),-(15pi)/(4) .

а) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \) б) \( -\dfrac{7\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{15\pi}{4} \)