а) Решите уравнение
cos2x+2cos(x+π)+1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π;−25π].
а) Упростим уравнение: cos2x+2cos(x+π)+1=0.
По формуле приведения cos(x+π)=−cosx.
Получаем: cos2x−2cosx+1=0.
Используем формулу двойного угла: cos2x=2cos2x−1.
Подставляем:
2cos2x−1−2cosx+1=0⇒2cos2x−2cosx=0.Выносим общий множитель:
cosx(2cosx−2)=0.Отсюда:
1) cosx=0⇒x=2π+πk,k∈Z.
2) cosx=22⇒x=±4π+2πn,n∈Z.
б) Найдём корни на отрезке [−4π;−25π].
Для x=2π+πk:
Решаем неравенство: −4π⩽2π+πk⩽−25π.
Делим на π: −4⩽21+k⩽−25.
Вычитаем 21: −29⩽k⩽−3.
Целые k: −4 и −3.
При k=−4: x=2π−4π=−27π.
При k=−3: x=2π−3π=−25π.
Для x=4π+2πn:
Решаем неравенство: −4π⩽4π+2πn⩽−25π.
Делим на π: −4⩽41+2n⩽−25.
Умножаем на 4: −16⩽1+8n⩽−10.
Вычитаем 1: −17⩽8n⩽−11⇒−817⩽n⩽−811.
Целое n: только −2.
При n=−2: x=4π−4π=−415π.
Для x=−4π+2πn:
Решаем неравенство: −4π⩽−4π+2πn⩽−25π.
Делим на π: −4⩽−41+2n⩽−25.
Умножаем на 4: −16⩽−1+8n⩽−10.
Прибавляем 1: −15⩽8n⩽−9⇒−815⩽n⩽−89.
Целое n: только −1, но при n=−1: x=−4π−2π=−49π, что больше −25π, т.е. не входит в отрезок.
Таким образом, подходящие корни: −27π, −25π, −415π.
Ответ: −27π,−25π,−415π.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ