а) Решите уравнение 16^(sin x)+16^(sin(x+pi))=(17)/(4). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/(2); 3pi].

Упростим второе слагаемое: sin(x+pi) = -sin x, поэтому 16^(sin(x+pi)) = 16^(-sin x). Уравнение принимает вид: 16^(sin x) + 16^(-sin x) = (17)/(4). Введем замену t = 16^(sin x) > 0, тогда 16^(-sin x) = (1)/(t). Получаем: t + (1)/(t) = (17)/(4). Умножим на t: t^2 + 1 = (17)/(4)t. Приводим к квадратному уравнению: 4t^2 - 17t + 4 = 0. Дискриминант D = 289 - 64 = 225, корни: t = (17+- 15)/(8), t_1 = 4, t_2 = (1)/(4). Возвращаемся к замене: 1. 16^(sin x) = 4. Так как 16 = 4^2, имеем 4^(2sin x) = 4^1, откуда 2sin x = 1, sin x = (1)/(2). 2. 16^(sin x) = (1)/(4) = 4^(-1), тогда 4^(2sin x) = 4^(-1), откуда 2sin x = -1, sin x = -(1)/(2). Решения уравнения sin x = (1)/(2): x = (pi)/(6) + 2pi k или x = (5pi)/(6) + 2pi k, kin Z. Решения уравнения sin x = -(1)/(2): x = -(pi)/(6) + 2pi k или x = (7pi)/(6) + 2pi k, kin Z. Все эти серии можно компактно записать как x = +-(pi)/(6) + pi k, kin Z. б) На отрезке [(3pi)/(2); 3pi] найдем корни: Для x = (pi)/(6) + pi k: при k=2 получаем x = (13pi)/(6). Для x = -(pi)/(6) + pi k: при k=2 и k=3 получаем x = (11pi)/(6) и x = (17pi)/(6). Ответ: а) x = +-(pi)/(6) + pi k, kin Z б) x = (11pi)/(6), (13pi)/(6), (17pi)/(6)

\(\text{а) }x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }\dfrac{11\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}.\)