Задача №15098

а) Решите уравнение
$16^{\sin x}+16^{\sin (x+\pi )}=\frac{17}{4}\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

Упростим второе слагаемое: $\sin (x+\pi )=-\sin x\text{,}$ поэтому $16^{\sin (x+\pi )}=16^{-\sin x}\text{.}$

Уравнение принимает вид: $16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\frac{17}{4}\text{.}$

Введем замену $t=16^{\sin x}>0\text{,}$ тогда $16^{-\sin x}=\frac{1}{t}\text{.}$

Получаем:

$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}.$$

Умножим на $t\text{:}$

$$t^2+1=\frac{17}{4}t.$$

Приводим к квадратному уравнению:

$$4t^2-17t+4=0.$$

Дискриминант $D=289-64=225\text{,}$ корни:

$$t=\frac{17\pm 15}{8},t_1=4,t_2=\frac{1}{4}.$$

Возвращаемся к замене:

1. $16^{\sin x}=4\text{.}$ Так как $16=4^2\text{,}$ имеем $4^{2\sin x}=4^1\text{,}$ откуда $2\sin x=1\text{,}$ $\sin x=\frac{1}{2}\text{.}$

2. $16^{\sin x}=\frac{1}{4}=4^{-1}\text{,}$ тогда $4^{2\sin x}=4^{-1}\text{,}$ откуда $2\sin x=-1\text{,}$ $\sin x=-\frac{1}{2}\text{.}$

Решения уравнения $\sin x=\frac{1}{2}\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Решения уравнения $\sin x=-\frac{1}{2}\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Все эти серии можно компактно записать как $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) На отрезке $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ найдем корни:

Для $x=\frac{\pi }{6}+\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $x=\frac{13\pi }{6}\text{.}$

Для $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k\text{:}$ при $k=2$ и $k=3$ получаем $x=\frac{11\pi }{6}$ и $x=\frac{17\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{11\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$