Задача №15096

а) Решите уравнение
$2-2\cos (\pi -2x)+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя формулу приведения: $\cos (\pi -2x)=-\cos 2x\text{.}$

$$2-2(-\cos 2x)+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x.$$ $$2+2\cos 2x+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x.$$

Перенесём все слагаемые влево:

$$2+2\cos 2x+\sqrt{8}\cos x-\sqrt{6}-\sqrt{12}\cos x=0.$$

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2},\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{.}$

$$2+2\cos 2x+2\sqrt{2}\cos x-\sqrt{6}-2\sqrt{3}\cos x=0.$$

Сгруппируем слагаемые с $\cos x\text{:}$

$$2+2\cos 2x-\sqrt{6}+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cos x=0.$$

Выразим $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$2+2(2{\cos }^{2}x-1)-\sqrt{6}+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cos x=0.$$ $$2+4{\cos }^{2}x-2-\sqrt{6}+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cos x=0.$$ $$4{\cos }^{2}x+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cos x-\sqrt{6}=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x\text{:}$

$$4t^2+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0.$$

Упростим коэффициенты, разделив на 2:

$$2t^2+(\sqrt{2}-\sqrt{3})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0.$$

Умножим на 2 для избавления от дроби:

$$4t^2+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2+16\sqrt{6}=4(2-2\sqrt{6}+3)+16\sqrt{6}=4(5-2\sqrt{6})+16\sqrt{6}=20-8\sqrt{6}+16\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}.$$ $$\sqrt{D}=\sqrt{20+8\sqrt{6}}=\sqrt{4(5+2\sqrt{6})}=2\sqrt{5+2\sqrt{6}}.$$

Заметим, что $5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2\text{,}$ тогда $\sqrt{D}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\text{.}$

$$t=\frac{-2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\pm 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{8}.$$

Рассмотрим два случая:

1. $t_1=\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{8}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$
2. $t_2=\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{8}=\frac{-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$

Итак, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$

Решаем первое уравнение: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Решаем второе уравнение: $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Начнём с серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$

При $k=1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}\approx 2,167\pi <3\pi$ — не подходит.

При $k=2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{25\pi }{6}\approx 4,167\pi$ и $\frac{25\pi }{6}\in \left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$

При $k=2\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}\approx 3,833\pi \in \left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

При $k=3\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+6\pi =\frac{35\pi }{6}\approx 5,833\pi >\frac{9\pi }{2}$ — не подходит.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{:}$

При $k=1\text{:}$ $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{11\pi }{4}\approx 2,75\pi <3\pi$ — не подходит.

При $k=2\text{:}$ $x=\frac{3\pi }{4}+4\pi =\frac{19\pi }{4}\approx 4,75\pi >\frac{9\pi }{2}$ — не подходит.

При $k=1$ для отрицательной ветви: $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{5\pi }{4}\approx 1,25\pi <3\pi$ — не подходит.

При $k=2\text{:}$ $x=-\frac{3\pi }{4}+4\pi =\frac{13\pi }{4}\approx 3,25\pi \in \left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

При $k=3\text{:}$ $x=-\frac{3\pi }{4}+6\pi =\frac{21\pi }{4}\approx 5,25\pi >\frac{9\pi }{2}$ — не подходит.

Ответ: $\frac{25\pi }{6},\frac{23\pi }{6},\frac{13\pi }{4}\text{.}$