а) Решите уравнение 2-2cos(pi-2x)+sqrt(8)cos x=sqrt(6)+sqrt(12)cos x . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; (9pi)/(2)] .

Упростим уравнение, используя формулу приведения: cos(pi - 2x) = -cos 2x . 2 - 2(-cos 2x) + sqrt(8)cos x = sqrt(6) + sqrt(12)cos x. 2 + 2cos 2x + sqrt(8)cos x = sqrt(6) + sqrt(12)cos x. Перенесём все слагаемые влево: 2 + 2cos 2x + sqrt(8)cos x - sqrt(6) - sqrt(12)cos x = 0. Упростим корни: sqrt(8) = 2sqrt(2), sqrt(12) = 2sqrt(3) . 2 + 2cos 2x + 2sqrt(2)cos x - sqrt(6) - 2sqrt(3)cos x = 0. Сгруппируем слагаемые с cos x : 2 + 2cos 2x - sqrt(6) + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))cos x = 0. Выразим cos 2x = 2cos^2 x - 1 : 2 + 2(2cos^2 x - 1) - sqrt(6) + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))cos x = 0. 2 + 4cos^2 x - 2 - sqrt(6) + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))cos x = 0. 4cos^2 x + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))cos x - sqrt(6) = 0. Сделаем замену t = cos x : 4t^2 + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))t - sqrt(6) = 0. Упростим коэффициенты, разделив на 2: 2t^2 + (sqrt(2) - sqrt(3))t - (sqrt(6))/(2) = 0. Умножим на 2 для избавления от дроби: 4t^2 + 2(sqrt(2) - sqrt(3))t - sqrt(6) = 0. Найдём дискриминант: D = 4(sqrt(2) - sqrt(3))^2 + 16sqrt(6) = 4(2 - 2sqrt(6) + 3) + 16sqrt(6) = 4(5 - 2sqrt(6)) + 16sqrt(6) = 20 - 8sqrt(6) + 16sqrt(6) = 20 + 8sqrt(6). sqrt(D) = sqrt(20 + 86) = sqrt(4(5 + 26)) = 2sqrt(5 + 26). Заметим, что 5 + 2sqrt(6) = (sqrt(3) + sqrt(2))^2 , тогда sqrt(D) = 2(sqrt(3) + sqrt(2)) . t = (-2(sqrt(2) - sqrt(3)) +- 2(sqrt(3) + sqrt(2)))/(8). Рассмотрим два случая: 1. t_1 = (-2sqrt(2) + 2sqrt(3) + 2sqrt(3) + 2sqrt(2))/(8) = (4sqrt(3))/(8) = (sqrt(3))/(2) . 2. t_2 = (-2sqrt(2) + 2sqrt(3) - 2sqrt(3) - 2sqrt(2))/(8) = (-4sqrt(2))/(8) = -(sqrt(2))/(2) . Итак, cos x = (sqrt(3))/(2) или cos x = -(sqrt(2))/(2) . Решаем первое уравнение: x = +-(pi)/(6) + 2pi k, kin Z . Решаем второе уравнение: x = +-(3pi)/(4) + 2pi k, kin Z . б) Отберём корни на отрезке [3pi; (9pi)/(2)] . Начнём с серии x = (pi)/(6) + 2pi k : При k=1 : x = (pi)/(6) + 2pi = (13pi)/(6)~ 2,167pi < 3pi — не подходит. При k=2 : x = (pi)/(6) + 4pi = (25pi)/(6)~ 4,167pi и (25pi)/(6)in[3pi; (9pi)/(2)] . Серия x = -(pi)/(6) + 2pi k : При k=2 : x = -(pi)/(6) + 4pi = (23pi)/(6)~ 3,833piin[3pi; (9pi)/(2)] . При k=3 : x = -(pi)/(6) + 6pi = (35pi)/(6)~ 5,833pi > (9pi)/(2) — не подходит. Серия x = (3pi)/(4) + 2pi k : При k=1 : x = (3pi)/(4) + 2pi = (11pi)/(4)~ 2,75pi < 3pi — не подходит. При k=2 : x = (3pi)/(4) + 4pi = (19pi)/(4)~ 4,75pi > (9pi)/(2) — не подходит. При k=1 для отрицательной ветви: x = -(3pi)/(4) + 2pi = (5pi)/(4)~ 1,25pi < 3pi — не подходит. При k=2 : x = -(3pi)/(4) + 4pi = (13pi)/(4)~ 3,25piin[3pi; (9pi)/(2)] . При k=3 : x = -(3pi)/(4) + 6pi = (21pi)/(4)~ 5,25pi > (9pi)/(2) — не подходит. Ответ: (25pi)/(6), (23pi)/(6), (13pi)/(4) .

а) \( \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{25\pi}{6}, \dfrac{23\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{4} \)