Задача №15095

а) Решите уравнение $\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^{2}x-4\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Решим квадратное уравнение относительно $\mathrm{tg}x\text{.}$ Пусть $t=\mathrm{tg}x\text{,}$ тогда:

$$\sqrt{3}{t}^2-4t+\sqrt{3}=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=16-12=4.$$

Корни:

$$t=\frac{4\pm 2}{2\sqrt{3}}=\{\begin{array}{l}\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3},\\ \frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{array}$$

Таким образом:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\text{или}\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Общие решения:

$$x=\frac{\pi }{3}+\pi k,x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{3}+\pi k\text{:}$

• $k=1\text{:}$ $x=\frac{4\pi }{3}$ (входит).
• $k=2\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{3}$ (входит).
• $k=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}<\pi$ — не входит.
• $k=3\text{:}$ $x=\frac{10\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$ — не входит.

Для $x=\frac{\pi }{6}+\pi k\text{:}$

• $k=1\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{6}$ (входит).
• $k=2\text{:}$ $x=\frac{13\pi }{6}$ (входит).
• $k=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}<\pi$ — не входит.
• $k=3\text{:}$ $x=\frac{19\pi }{6}>\frac{5\pi }{2}$ — не входит.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{4\pi }{3},x=\frac{7\pi }{3},x=\frac{7\pi }{6},x=\frac{13\pi }{6}$