а) Решите уравнение sqrt(3)tg^2 x - 4tg x + sqrt(3) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ pi; (5pi)/(2)] .
а) Решим квадратное уравнение относительно tg x. Пусть t = tg x, тогда: sqrt(3) t^(2) - 4t + sqrt(3) = 0. Дискриминант: D = (-4)^(2) - 4*sqrt(3)*sqrt(3) = 16 - 12 = 4. Корни: t = (4+- 2)/(2sqrt(3)) = cases (6)/(2sqrt(3)) = sqrt(3), [6pt] (2)/(2sqrt(3)) = (1)/(sqrt(3)) = (sqrt(3))/(3). cases Таким образом: tg x = sqrt(3) или tg x = (sqrt(3))/(3). Общие решения: x = (pi)/(3) + pi k, x = (pi)/(6) + pi k, kin Z. б) Найдём корни на отрезке [pi; (5pi)/(2)]. Для x = (pi)/(3) + pi k: k = 1: x = (4pi)/(3) (входит). k = 2: x = (7pi)/(3) (входит). k = 0: x = (pi)/(3) < pi — не входит. k = 3: x = (10pi)/(3) > (5pi)/(2) — не входит. Для x = (pi)/(6) + pi k: k = 1: x = (7pi)/(6) (входит). k = 2: x = (13pi)/(6) (входит). k = 0: x = (pi)/(6) < pi — не входит. k = 3: x = (19pi)/(6) > (5pi)/(2) — не входит. Ответ: а) x = (pi)/(3) + pi k, x = (pi)/(6) + pi k, kin Z б) x = (4pi)/(3), x = (7pi)/(3), x = (7pi)/(6), x = (13pi)/(6)
а) \( \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \dfrac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
б) \( \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{3} \)