Задача №15091

а) Решите уравнение

$$\cos 2x-\sqrt{2}\sin (x+\pi )-1=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right].$$

Упростим уравнение:

$$\cos 2x-\sqrt{2}\sin (x+\pi )-1=0.$$

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x\text{:}$

$$\cos 2x-\sqrt{2}(-\sin x)-1=0\Rightarrow \cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0.$$

Выразим $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$1-2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x-1=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x=0.$$

Выносим $\sin x\text{:}$

$$\sin x(-2\sin x+\sqrt{2})=0\Rightarrow \sin x(2\sin x-\sqrt{2})=0.$$

Получаем два случая:

1. $\sin x=0\text{.}$ Тогда

$$x=\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sin x-\sqrt{2}=0\text{,}$ откуда $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Тогда

$$x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{или}x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Для

б) найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]\text{:}$

Для $x=\pi n\text{:}$ подходят $n=-3,-2\text{,}$ что даёт $x=-3\pi ,-2\pi \text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ подходит $k=-1\text{,}$ что даёт $x=-\frac{7\pi }{4}\text{.}$

Для $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ подходит $k=-2\text{,}$ что даёт $x=-\frac{13\pi }{4}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pi n,n\in \mathbb{Z};$ $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $x=-3\pi ,x=-2\pi ,x=-\frac{7\pi }{4},x=-\frac{13\pi }{4}\text{.}$