Задача №15089

а) Решите уравнение

$$\frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0.$$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{13\pi }{2};-5\pi \right]\text{.}$

а) Исходное уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}{4}^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0,\\ \sin x>0.\end{array}$$

Преобразуем числитель: $4^{\sin 2x}=2^{4\sin x\cos x}\text{,}$ $2^{2\sqrt{3}\sin x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}\text{.}$

Приравниваем показатели:

$$4\sin x\cos x=2\sqrt{3}\sin x\iff \sin x(4\cos x-2\sqrt{3})=0.$$

Из $\sin x=0$ не удовлетворяет $\sin x>0\text{.}$

Остается

$$4\cos x-2\sqrt{3}=0\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Условие $\sin x>0$ отбирает только

$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-\frac{13\pi }{2};-5\pi \right]\text{:}$

$$-\frac{13\pi }{2}\le \frac{\pi }{6}+2\pi k\le -5\pi .$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$-\frac{13}{2}\le \frac{1}{6}+2k\le -5.$$

Вычитаем $\frac{1}{6}\text{:}$

$$-\frac{20}{3}\le 2k\le -\frac{31}{6}.$$

Делим на 2:

$$-\frac{10}{3}\le k\le -\frac{31}{12}.$$

Единственное целое $k=-3\text{.}$

Соответствующий корень:

$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi \cdot (-3)=-\frac{35\pi }{6}.$$

Ответ:
а) $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $x=-\frac{35\pi }{6}$