а) Решите уравнение (4^(sin 2x) - 2^(2sqrt(3)sin x))/(sqrt(7sin x)) = 0. б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [ -(13pi)/(2); -5pi] .

а) Исходное уравнение равносильно системе: cases 4^(sin 2x) - 2^(2sqrt(3)sin x) = 0, sin x > 0. cases Преобразуем числитель: 4^(sin 2x) = 2^(4sin xcos x), 2^(2sqrt(3)sin x) = 2^(2sqrt(3)sin x). Приравниваем показатели: 4sin xcos x = 2sqrt(3)sin x<=>sin x (4cos x - 2sqrt(3)) = 0. Из sin x = 0 не удовлетворяет sin x > 0. Остается 4cos x - 2sqrt(3) = 0<=>cos x = (sqrt(3))/(2). Тогда x = +-(pi)/(6) + 2pi k, kin Z. Условие sin x > 0 отбирает только x = (pi)/(6) + 2pi k, kin Z. б) Найдем корни на отрезке [-(13pi)/(2); -5pi]: -(13pi)/(2)<=(pi)/(6) + 2pi k<= -5pi. Делим на pi: -(13)/(2)<=(1)/(6) + 2k<= -5. Вычитаем (1)/(6): -(20)/(3)<= 2k<= -(31)/(6). Делим на 2: -(10)/(3)<= k<= -(31)/(12). Единственное целое k = -3. Соответствующий корень: x = (pi)/(6) + 2pi* (-3) = -(35pi)/(6). Ответ: а) x = (pi)/(6) + 2pi k, kin Z б) x = -(35pi)/(6)

\(\text{а) }\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }-\dfrac{35\pi}{6}.\)