Задача №15088

Найдите точку минимума функции

$$y=x^{3/2}-3x+9.$$

Функция $y=x^{3/2}-3x+9$ определена при $x\ge 0\text{.}$

Найдём производную:

$$y^{\prime }=\frac{3}{2}{x}^{1/2}-3=\frac{3}{2}\sqrt{x}-3.$$

Найдём критические точки:

$$\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0.$$

Решим уравнение:

$$\frac{3}{2}\sqrt{x}=3\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4.$$

Проверим знак производной слева и справа от точки $x=4\text{.}$

При $x<4\text{,}$ например $x=1\text{:}$

$$y^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot 1-3=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}<0.$$

При $x>4\text{,}$ например $x=9\text{:}$

$$y^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot 3-3=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}>0.$$

Производная меняет знак с минуса на плюс при $x=4\text{,}$ значит, $x=4$ — точка минимума.

Ответ: $x=4$