а) Решите уравнение 2sin(x + (pi)/(3)) - sqrt(3)cos 2x = sin x + sqrt(3). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2pi; -(pi)/(2)].

Раскроем sin(x + (pi)/(3)) : sin(x + (pi)/(3)) = sin xcos(pi)/(3) + cos xsin(pi)/(3) = (1)/(2)sin x + (sqrt(3))/(2)cos x. Тогда 2sin(x + (pi)/(3)) = sin x + sqrt(3)cos x. Подставим в уравнение: sin x + sqrt(3)cos x - sqrt(3)cos 2x = sin x + sqrt(3). Упростим, вычитая sin x : sqrt(3)cos x - sqrt(3)cos 2x = sqrt(3). Делим на sqrt(3) : cos x - cos 2x = 1. Выразим cos 2x = 2cos^2 x - 1 : cos x - (2cos^2 x - 1) = 1=>cos x - 2cos^2 x + 1 = 1=>cos x - 2cos^2 x = 0. Выносим общий множитель: cos x (1 - 2cos x) = 0. Следовательно: 1) cos x = 0=> x = (pi)/(2) + pi k,kin Z . 2) cos x = (1)/(2)=> x = +-(pi)/(3) + 2pi n,nin Z . Отберем корни на отрезке [ -2pi; -(pi)/(2)] . Корни x = (pi)/(2) + pi k : при k = -2 — x = -(3pi)/(2) (входит), при k = -1 — x = -(pi)/(2) (входит, правый конец). Корни x = (pi)/(3) + 2pi n : при n = -1 — x = -(5pi)/(3) (входит). Корни x = -(pi)/(3) + 2pi n : при n = -1 — x = -(7pi)/(3) (не входит, так как -(7pi)/(3) < -2pi ), при n = 0 — x = -(pi)/(3) (не входит, так как -(pi)/(3) > -(pi)/(2) ). Ответ: -(3pi)/(2),-(pi)/(2),-(5pi)/(3) .

а) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \) б) \( -\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{3} \)