Задача №15087

а) Решите уравнение

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right].$$

Раскроем $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\text{:}$

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Тогда

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}.$$

Упростим, вычитая $\sin x\text{:}$

$$\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{3}.$$

Делим на $\sqrt{3}\text{:}$

$$\cos x-\cos 2x=1.$$

Выразим $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$\cos x-(2{\cos }^{2}x-1)=1\Rightarrow \cos x-2{\cos }^{2}x+1=1\Rightarrow \cos x-2{\cos }^{2}x=0.$$

Выносим общий множитель:

$$\cos x(1-2\cos x)=0.$$

Следовательно:
1) $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2) $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Отберем корни на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Корни $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$ при $k=-2$ — $x=-\frac{3\pi }{2}$ (входит), при $k=-1$ — $x=-\frac{\pi }{2}$ (входит, правый конец).

Корни $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{:}$ при $n=-1$ — $x=-\frac{5\pi }{3}$ (входит).

Корни $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{:}$ при $n=-1$ — $x=-\frac{7\pi }{3}$ (не входит, так как $-\frac{7\pi }{3}<-2\pi$), при $n=0$ — $x=-\frac{\pi }{3}$ (не входит, так как $-\frac{\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$).

Ответ: $-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2},-\frac{5\pi }{3}\text{.}$