Задача №15083

а) Решите уравнение
$27^x-28\cdot 3^{x+1}+3^{5-x}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\sqrt{3};{\log }_{2}5\right]\text{.}$

а) Преобразуем уравнение:

$$27^x=(3^3{)}^x=3^{3x},3^{x+1}=3\cdot 3^x,3^{5-x}=3^5\cdot 3^{-x}=243\cdot 3^{-x}.$$

Умножаем обе части на $3^x\text{:}$

$$3^{4x}-84\cdot 3^{2x}+243=0.$$

Замена $t=3^{2x}>0\text{:}$

$$t^2-84t+243=0,t=\frac{84\pm \sqrt{7056-972}}{2}=\frac{84\pm 78}{2}\Rightarrow t_1=81,t_2=3.$$

Обратная замена:

$$3^{2x}=81=3^4\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2.$$ $$3^{2x}=3=3^1\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$

б) Отрезок $\left[\sqrt{3};{\log }_{2}5\right]\text{.}$ Приближенно: $\sqrt{3}\approx 1,732\text{,}$ ${\log }_{2}5\approx 2,322\text{.}$ Корень $x=\frac{1}{2}$ не принадлежит, корень $x=2$ принадлежит.

Ответ:

а) $x=2\text{,}$ $x=\frac{1}{2}$

б) $x=2$