а) Решите уравнение 2sin( 2x + (pi)/(6)) - cos x = sqrt(3)sin 2x - 1 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ (5pi)/(2); 4pi] .

Уравнение: 2sin( 2x + (pi)/(6)) - cos x = sqrt(3)sin 2x - 1 Раскроем синус суммы: sin(2x + (pi)/(6)) = sin 2xcos(pi)/(6) + cos 2xsin(pi)/(6) = (sqrt(3))/(2)sin 2x + (1)/(2)cos 2x. Подставим: 2( (sqrt(3))/(2)sin 2x + (1)/(2)cos 2x) - cos x = sqrt(3)sin 2x + cos 2x - cos x. Уравнение принимает вид: sqrt(3)sin 2x + cos 2x - cos x = sqrt(3)sin 2x - 1. Вычтем sqrt(3)sin 2x с обеих сторон: cos 2x - cos x = -1. Используем формулу двойного угла cos 2x = 2cos^2 x - 1: 2cos^2 x - 1 - cos x = -1=> 2cos^2 x - cos x = 0=>cos x (2cos x - 1) = 0. Отсюда: 1) cos x = 0. Тогда x = (pi)/(2) + pi k, kin Z. 2) cos x = (1)/(2). Тогда x = +-(pi)/(3) + 2pi n, nin Z. б) Отрезок [ (5pi)/(2); 4pi]. Найдём подходящие корни. Для x = (pi)/(2) + pi k: При k = 2: x = (pi)/(2) + 2pi = (5pi)/(2) (левая граница); При k = 3: x = (pi)/(2) + 3pi = (7pi)/(2) При k = 4: x = (pi)/(2) + 4pi = (9pi)/(2) > 4pi (не подходит). Для x = (pi)/(3) + 2pi n: При n = 2: x = (pi)/(3) + 4pi = (13pi)/(3) При n = 1: x = (pi)/(3) + 2pi = (7pi)/(3) < (5pi)/(2) (не подходит). Для x = -(pi)/(3) + 2pi n: При n = 2: x = -(pi)/(3) + 4pi = (11pi)/(3) При n = 3: x = -(pi)/(3) + 6pi = (17pi)/(3) > 4pi (не подходит). Итак, корни на отрезке: (5pi)/(2), (7pi)/(2), (13pi)/(3), (11pi)/(3).

\(\text{а) }\dfrac{\pi}{2} + \pi k, \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, k, n\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }\dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{13\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}.\)