Задача №15082

а) Решите уравнение

$$2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]\text{.}$

Уравнение:

$$2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

Раскроем синус суммы:

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Подставим:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x.$$

Уравнение принимает вид:

$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1.$$

Вычтем $\sqrt{3}\sin 2x$ с обеих сторон:

$$\cos 2x-\cos x=-1.$$

Используем формулу двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x-1-\cos x=-1\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-\cos x=0\Rightarrow \cos x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

1) $\cos x=0\text{.}$ Тогда

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2) $\cos x=\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]\text{.}$ Найдём подходящие корни.

Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$

При $k=2\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{5\pi }{2}$$

(левая граница);

При $k=3\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{2}+3\pi =\frac{7\pi }{2}$$

При $k=4\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{9\pi }{2}>4\pi$$

(не подходит).

Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{:}$

При $n=2\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{13\pi }{3}$$

При $n=1\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$$

(не подходит).

Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{:}$

При $n=2\text{:}$

$$x=-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}$$

При $n=3\text{:}$

$$x=-\frac{\pi }{3}+6\pi =\frac{17\pi }{3}>4\pi$$

(не подходит).

Итак, корни на отрезке:

$$\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{13\pi }{3},\frac{11\pi }{3}.$$