Задача №15080

а) Решите уравнение

$$49^{\sin x}={\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7.

$$49^{\sin x}=(7^2{)}^{\sin x}=7^{2\sin x},{\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}=(7^{-1}{)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}.$$

Уравнение принимает вид $7^{2\sin x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}\text{.}$
Поскольку основание 7 > 0 и не равно 1, можно приравнять показатели:

$$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x.$$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$2\sin x=\sqrt{2}\cdot 2\sin x\cos x\iff 2\sin x-2\sqrt{2}\sin x\cos x=0.$$

Выносим общий множитель:

$$2\sin x(1-\sqrt{2}\cos x)=0.$$

Получаем две серии решений:
1) $\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$
2) $1-\sqrt{2}\cos x=0\Rightarrow \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

• Для $x=\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $2\pi \text{,}$ при $k=3$ получаем $3\pi \text{;}$ при $k=4$ получаем $4\pi >\frac{7\pi }{2}\text{,}$ не входит.
• Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ при $n=1$ получаем $\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{9\pi }{4}\text{,}$ это $2.25\pi \in [2\pi ;3.5\pi ]\text{;}$ при $n=2$ получаем $\frac{17\pi }{4}>\frac{7\pi }{2}\text{,}$ не входит.
• Для $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ при $n=1$ получаем $-\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}<2\pi \text{,}$ не входит; при $n=2$ получаем $-\frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{15\pi }{4}>\frac{7\pi }{2}\text{,}$ не входит.

Таким образом, подходящие корни: $2\pi ,\frac{9\pi }{4},3\pi \text{.}$

Ответ: $2\pi ,\frac{9\pi }{4},3\pi$