а) Решите уравнение 49^(sin x) = ( (1)/(7))^(-sqrt(2)sin 2x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 2pi; (7pi)/(2)] .

Приведем обе части уравнения к основанию 7. 49^(sin x) = (7^2)^(sin x) = 7^(2sin x), ( (1)/(7))^(-sqrt(2)sin 2x) = (7^(-1))^(-sqrt(2)sin 2x) = 7^(sqrt(2)sin 2x). Уравнение принимает вид 7^(2sin x) = 7^(sqrt(2)sin 2x) . Поскольку основание 7 > 0 и не равно 1, можно приравнять показатели: 2sin x = sqrt(2)sin 2x. Используем формулу двойного угла sin 2x = 2sin xcos x : 2sin x = sqrt(2)* 2sin xcos x <=> 2sin x - 2sqrt(2)sin xcos x = 0. Выносим общий множитель: 2sin x (1 - sqrt(2)cos x) = 0. Получаем две серии решений: 1) sin x = 0 => x = pi k, kin Z; 2) 1 - sqrt(2)cos x = 0 => cos x = (1)/(sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2) => x = +-(pi)/(4) + 2pi n, nin Z. б) Найдем корни на отрезке [ 2pi; (7pi)/(2)] : - Для x = pi k: при k=2 получаем 2pi, при k=3 получаем 3pi; при k=4 получаем 4pi > (7pi)/(2), не входит. - Для x = (pi)/(4) + 2pi n: при n=1 получаем (pi)/(4) + 2pi = (9pi)/(4), это 2.25piin [2pi; 3.5pi]; при n=2 получаем (17pi)/(4) > (7pi)/(2), не входит. - Для x = -(pi)/(4) + 2pi n: при n=1 получаем -(pi)/(4) + 2pi = (7pi)/(4) < 2pi, не входит; при n=2 получаем -(pi)/(4) + 4pi = (15pi)/(4) > (7pi)/(2), не входит. Таким образом, подходящие корни: 2pi, (9pi)/(4), 3pi. Ответ: 2pi, (9pi)/(4), 3pi

\(\text{а) }\pi k, \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, k,n\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }2\pi; \dfrac{9\pi}{4}; 3\pi.\)