Задача №15077

а) Решите уравнение
$9\cdot 81^{\cos x}-28\cdot 9^{\cos x}+3=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]\text{.}$

а) Преобразуем: $81^{\cos x}=(9^2{)}^{\cos x}=9^{2\cos x}\text{.}$ Уравнение принимает вид:

$$9\cdot 9^{2\cos x}-28\cdot 9^{\cos x}+3=0.$$

Замена $t=9^{\cos x}>0\text{:}$

$$9t^2-28t+3=0,t=\frac{28\pm \sqrt{784-108}}{18}=\frac{28\pm 26}{18}\Rightarrow t_1=3,t_2=\frac{1}{9}.$$

Обратная замена:

$$9^{\cos x}=3\Rightarrow (3^2{)}^{\cos x}=3^1\Rightarrow 2\cos x=1\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$ $$9^{\cos x}=\frac{1}{9}=9^{-1}\Rightarrow \cos x=-1\Rightarrow x=\pi +2\pi k=\pi (2k+1),k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]\text{.}$
Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ решаем неравенство $\frac{5\pi }{2}⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽4\pi$ $\Rightarrow$ нет целых $k\text{.}$
Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $x=-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}\text{.}$
Для $x=\pi +2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=3\pi \text{.}$

Ответ:
а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z};x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{11\pi }{3},3\pi$