Найдите наибольшее значение функции y = 7 + 12x - 4xsqrt(x) на отрезке [0; 12].

Задача №15076: Производная и первообразная

Функция

y = 7 + 12 x - 4 x x = 7 + 12 x - 4 x^{3/2}

определена при $x ⩾ 0 .$

Найдём производную:

y^{'} = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 12 - 6 x .

Найдём критические точки на отрезке $[0; 12] :$

12 - 6 x = 0 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow x = 4.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

y (0) = 7 + 12 \cdot 0 - 4 \cdot 0 \cdot 0 = 7,

y (4) = 7 + 12 \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 7 + 48 - 32 = 23,

y (12) = 7 + 12 \cdot 12 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 7 + 144 - 48 \cdot 23 = 151 - 963 \approx 151 - 166.28 = - 15.28.

Ответ: 23