а) Решите уравнение sin x + 2sin(2x+(pi)/(6)) = sqrt(3)sin 2x + 1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(7pi)/(2); -2pi].

а) Преобразуем уравнение: sin x + 2sin(2x+(pi)/(6)) = sqrt(3)sin 2x + 1. Используем формулу синуса суммы: sin(2x+(pi)/(6)) = (sqrt(3))/(2)sin 2x + (1)/(2)cos 2x. Подставляем: sin x + 2((sqrt(3))/(2)sin 2x + (1)/(2)cos 2x) = sin x + sqrt(3)sin 2x + cos 2x. Уравнение принимает вид: sin x + sqrt(3)sin 2x + cos 2x = sqrt(3)sin 2x + 1. Сокращаем sqrt(3)sin 2x: sin x + cos 2x = 1. Выражаем cos 2x = 1 - 2sin^2 x: sin x + 1 - 2sin^2 x = 1=>sin x - 2sin^2 x = 0=>sin x(1 - 2sin x) = 0. Отсюда: 1) sin x = 0=> x = pi n, nin Z; 2) sin x = (1)/(2)=> x = (pi)/(6) + 2pi k или x = (5pi)/(6) + 2pi k, kin Z. Все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению. б) Найдем корни на отрезке [-(7pi)/(2); -2pi]. Для x = pi n: -(7pi)/(2) pi n -2pi=> -(7)/(2) n -2=> n = -3, -2, откуда x = -3pi, -2pi. Для x = (pi)/(6) + 2pi k: -(7pi)/(2) (pi)/(6) + 2pi k -2pi не выполняется ни при каком целом k. Для x = (5pi)/(6) + 2pi k: -(7pi)/(2) (5pi)/(6) + 2pi k -2pi=> k = -2, откуда x = (5pi)/(6) - 4pi = -(19pi)/(6). Ответ: а) x = pi n, nin Z; x = (pi)/(6) + 2pi k или x = (5pi)/(6) + 2pi k, kin Z. б) -(19pi)/(6), -3pi, -2pi.

а) \(x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) б) \(-\dfrac{19\pi}{6}, -3\pi, -2\pi\)