Задача №15075

а) Решите уравнение

$$\sin x+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+1.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right].$$

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin x+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+1.$$

Используем формулу синуса суммы:

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Подставляем:

$$\sin x+2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)=\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x.$$

Уравнение принимает вид:

$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1.$$

Сокращаем $\sqrt{3}\sin 2x\text{:}$

$$\sin x+\cos 2x=1.$$

Выражаем $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$\sin x+1-2{\sin }^{2}x=1\Rightarrow \sin x-2{\sin }^{2}x=0\Rightarrow \sin x(1-2\sin x)=0.$$

Отсюда:

1) $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{;}$

2) $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) Найдем корни на отрезке

$$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right].$$

Для $x=\pi n\text{:}$

$$-\frac{7\pi }{2}⩽\pi n⩽-2\pi \Rightarrow -\frac{7}{2}⩽n⩽-2\Rightarrow n=-3,-2,$$

откуда $x=-3\pi ,-2\pi \text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$

$$-\frac{7\pi }{2}⩽\frac{\pi }{6}+2\pi k⩽-2\pi$$

не выполняется ни при каком целом $k\text{.}$

Для $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$

$$-\frac{7\pi }{2}⩽\frac{5\pi }{6}+2\pi k⩽-2\pi \Rightarrow k=-2,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi }{6}-4\pi =-\frac{19\pi }{6}.$$

Ответ:

а) $x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $-\frac{19\pi }{6},-3\pi ,-2\pi \text{.}$