а) Решите уравнение
2sin(x+3π)+cos2x=3cosx+1.б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−3π;−23π].а) Упростим левую часть уравнения, используя формулу синуса суммы:
sin(x+3π)=sinxcos3π+cosxsin3π=21sinx+23cosx,поэтому
2sin(x+3π)=sinx+3cosx.Подставим в исходное уравнение:
sinx+3cosx+cos2x=3cosx+1.Сократим 3cosx (это равносильное преобразовани
е):
sinx+cos2x=1.Выразим cos2x через sinx: cos2x=1−2sin2x. Тогда
sinx+1−2sin2x=1⇔sinx−2sin2x=0⇔sinx(1−2sinx)=0.Отсюда
sinx=0,sinx=21.Решаем каждое уравнение:
1. sinx=0⇒x=πk,k∈Z.
2. sinx=21⇒x=6π+2πn или x=65π+2πm,n,m∈Z.
б) Найдём корни на отрезке [−3π;−23π].
Для x=πk:
−3π⩽πk⩽−23π⇔−3⩽k⩽−1.5⇒k=−3,k=−2.
Соответствующие корни: x=−3π,x=−2π.
Для x=6π+2πn:
−3π⩽6π+2πn⩽−23π⇔−3⩽61+2n⩽−1.5⇒−1219⩽n⩽−65.
Единственное целое n=−1, тогда x=6π−2π=−611π.
Для x=65π+2πm:
−3π⩽65π+2πm⩽−23π⇔−3⩽65+2m⩽−1.5⇒−1223⩽m⩽−67.
Единственное целое m=−1 даёт x=65π−2π=−67π≈−3.665, что больше −23π≈−4.712, поэтому не принадлежит отрезку.
Ответ:
а) x=πk,k∈Z; x=6π+2πn,n∈Z; x=65π+2πm,m∈Z
б) −3π,−2π,−611π
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ