а) Решите уравнение 2sin(x + (pi)/(3)) + cos 2x = sqrt(3)cos x + 1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi; -(3pi)/(2)].

а) Упростим левую часть уравнения, используя формулу синуса суммы: sin(x+(pi)/(3))=sin xcos(pi)/(3)+cos xsin(pi)/(3)=(1)/(2)sin x+(sqrt(3))/(2)cos x, поэтому 2sin(x+(pi)/(3))=sin x+sqrt(3)cos x. Подставим в исходное уравнение: sin x+sqrt(3)cos x+cos 2x=sqrt(3)cos x+1. Сократим sqrt(3)cos x (это равносильное преобразовани е): sin x+cos 2x=1. Выразим cos 2x через sin x: cos 2x=1-2sin^(2)x. Тогда sin x+1-2sin^(2)x=1 <=>sin x-2sin^(2)x=0 <=>sin x(1-2sin x)=0. Отсюда [arrayl sin x=0,[2pt] sin x=(1)/(2). array. Решаем каждое уравнение: 1. sin x=0 =>x=pi k,kinZ. 2. sin x=(1)/(2) =>x=(pi)/(6)+2pi n или x=(5pi)/(6)+2pi m,n,minZ. б) Найдём корни на отрезке [-3pi; -(3pi)/(2)]. Для x=pi k: -3pi pi k -(3pi)/(2) <=>-3 k -1.5 =>k=-3,k=-2. Соответствующие корни: x=-3pi,x=-2pi. Для x=(pi)/(6)+2pi n: -3pi (pi)/(6)+2pi n -(3pi)/(2) <=>-3 (1)/(6)+2n -1.5 =>-(19)/(12) n -(5)/(6). Единственное целое n=-1, тогда x=(pi)/(6)-2pi=-(11pi)/(6). Для x=(5pi)/(6)+2pi m: -3pi (5pi)/(6)+2pi m -(3pi)/(2) <=>-3 (5)/(6)+2m -1.5 =>-(23)/(12) m -(7)/(6). Единственное целое m=-1 даёт x=(5pi)/(6)-2pi=-(7pi)/(6)~ -3.665, что больше -(3pi)/(2)~ -4.712, поэтому не принадлежит отрезку. Ответ: а) x = pi k,kin Z ; x = (pi)/(6) + 2pi n,nin Z ; x = (5pi)/(6) + 2pi m,min Z б) -3pi,-2pi,-(11pi)/(6)

а) \(\pi k, k \in \mathbb{Z}\); \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\) б) \(-3\pi\), \(-2\pi\), \(-\dfrac{11\pi}{6}\)