Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ
а) Решите уравнение 2sin2x+cos(−x)−1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−29π;−3π].
а) Уравнение: 2sin2x+cos(−x)−1=0.
Поскольку косинус — чётная функция, cos(−x)=cosx. Подставим:
Выразим sin2x=1−cos2x:
2(1−cos2x)+cosx−1=0.Раскроем скобки:
2−2cos2x+cosx−1=0.Приведём подобные:
−2cos2x+cosx+1=0.Умножим на −1:
2cos2x−cosx−1=0.Это квадратное уравнение относительно t=cosx:
2t2−t−1=0.Дискриминант: D=1+8=9, корни:
t1=41+3=1,t2=41−3=−21.Таким образом, cosx=1 или cosx=−21.
Решим первое уравнение:
cosx=1⇔x=2πk,k∈Z.Решим второе уравнение:
cosx=−21⇔x=±32π+2πk,k∈Z.б) Найдём корни на отрезке [−29π;−3π].
Отрезок: −29π=−4.5π, −3π. Все корни имеют вид x=2πk и x=±32π+2πk.
Начнём с серии x=2πk. Подставим k=−2: x=−4π. Проверим, входит ли −4π в отрезок: −29π≈−14.137, −3π≈−9.425, −4π≈−12.566 — входит. При k=−1: x=−2π≈−6.283, что больше −3π, не входит. При k=−3: x=−6π≈−18.85, меньше −29π, не входит. Значит, из этой серии подходит только x=−4π.
Теперь серия x=32π+2πk. Найдём целые k, такие что:
−29π≤32π+2πk≤−3π.Делим на π:
−29≤32+2k≤−3.Вычтем 32: −29−32=6−27−4=−631, −3−32=−311=−622.
−631≤2k≤−622⇒−1231≤k≤−611≈−1.833.Целые k: k=−2. Тогда x=32π−4π=32π−312π=−310π.
Проверим границы: −310π≈−10.472, −29π≈−14.137, −3π≈−9.425. Входит.
Теперь серия x=−32π+2πk. Аналогично:
−29π≤−32π+2πk≤−3π.Делим на π:
−29≤−32+2k≤−3.Прибавим 32: −29+32=6−27+4=−623, −3+32=−37=−614.
−623≤2k≤−614⇒−1223≤k≤−67≈−1.166.Целые k: k=−2 и k=−1.
При k=−2: x=−32π−4π=−32π−312π=−314π≈−14.661, что меньше −29π≈−14.137. Не входит.
При k=−1: x=−32π−2π=−32π−36π=−38π≈−8.378, что больше −3π≈−9.425. Не входит.
Проверим границы: −314π меньше левой границы, −38π больше правой границы. Значит, из этой серии нет корней на отрезке.
Ответ:
а) x=2πk,k∈Z или x=±32π+2πk,k∈Z
б) −4π,−310π