а) Решите уравнение 2sin^2 x + cos(-x) - 1 = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -(9pi)/(2); -3pi] .

а) Уравнение: 2sin^2 x + cos(-x) - 1 = 0. Поскольку косинус — чётная функция, cos(-x) = cos x. Подставим: 2sin^2 x + cos x - 1 = 0. Выразим sin^2 x = 1 - cos^2 x: 2(1 - cos^2 x) + cos x - 1 = 0. Раскроем скобки: 2 - 2cos^2 x + cos x - 1 = 0. Приведём подобные: -2cos^2 x + cos x + 1 = 0. Умножим на -1: 2cos^2 x - cos x - 1 = 0. Это квадратное уравнение относительно t = cos x: 2t^2 - t - 1 = 0. Дискриминант: D = 1 + 8 = 9, корни: t_1 = (1 + 3)/(4) = 1, t_2 = (1 - 3)/(4) = -(1)/(2). Таким образом, cos x = 1 или cos x = -(1)/(2). Решим первое уравнение: cos x = 1<=> x = 2pi k, kin Z. Решим второе уравнение: cos x = -(1)/(2)<=> x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, kin Z. б) Найдём корни на отрезке [-(9pi)/(2); -3pi]. Отрезок: -(9pi)/(2) = -4.5pi, -3pi. Все корни имеют вид x = 2pi k и x = +-(2pi)/(3) + 2pi k. Начнём с серии x = 2pi k. Подставим k = -2: x = -4pi. Проверим, входит ли -4pi в отрезок: -(9pi)/(2)~ -14.137, -3pi~ -9.425, -4pi~ -12.566 — входит. При k = -1: x = -2pi~ -6.283, что больше -3pi, не входит. При k = -3: x = -6pi~ -18.85, меньше -(9pi)/(2), не входит. Значит, из этой серии подходит только x = -4pi. Теперь серия x = (2pi)/(3) + 2pi k. Найдём целые k, такие что: -(9pi)/(2)<=(2pi)/(3) + 2pi k<= -3pi. Делим на pi: -(9)/(2)<=(2)/(3) + 2k<= -3. Вычтем (2)/(3): -(9)/(2) - (2)/(3) = (-27 - 4)/(6) = -(31)/(6), -3 - (2)/(3) = -(11)/(3) = -(22)/(6). -(31)/(6)<= 2k<= -(22)/(6)=> -(31)/(12)<= k<= -(11)/(6)~ -1.833. Целые k: k = -2. Тогда x = (2pi)/(3) - 4pi = (2pi)/(3) - (12pi)/(3) = -(10pi)/(3). Проверим границы: -(10pi)/(3)~ -10.472, -(9pi)/(2)~ -14.137, -3pi~ -9.425. Входит. Теперь серия x = -(2pi)/(3) + 2pi k. Аналогично: -(9pi)/(2)<= -(2pi)/(3) + 2pi k<= -3pi. Делим на pi: -(9)/(2)<= -(2)/(3) + 2k<= -3. Прибавим (2)/(3): -(9)/(2) + (2)/(3) = (-27 + 4)/(6) = -(23)/(6), -3 + (2)/(3) = -(7)/(3) = -(14)/(6). -(23)/(6)<= 2k<= -(14)/(6)=> -(23)/(12)<= k<= -(7)/(6)~ -1.166. Целые k: k = -2 и k = -1. При k = -2: x = -(2pi)/(3) - 4pi = -(2pi)/(3) - (12pi)/(3) = -(14pi)/(3)~ -14.661, что меньше -(9pi)/(2)~ -14.137. Не входит. При k = -1: x = -(2pi)/(3) - 2pi = -(2pi)/(3) - (6pi)/(3) = -(8pi)/(3)~ -8.378, что больше -3pi~ -9.425. Не входит. Проверим границы: -(14pi)/(3) меньше левой границы, -(8pi)/(3) больше правой границы. Значит, из этой серии нет корней на отрезке. Ответ: а) x = 2pi k, kin Z или x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, kin Z б) -4pi, -(10pi)/(3)

а) \( 2\pi k, \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( -4\pi, -\dfrac{10\pi}{3} \)