Задача №15072

Найдите наибольшее значение функции

$$y=10\sin x-\frac{36x}{\pi }+7$$

на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{6};0\right]\text{.}$

Найдем производную функции:

$$y=10\sin x-\frac{36x}{\pi }+7$$ $$y^{\prime }=10\cos x-\frac{36}{\pi }.$$

Найдем критические точки на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{6};0\right]\text{:}$

$$10\cos x-\frac{36}{\pi }=0\Rightarrow \cos x=\frac{36}{10\pi }=\frac{18}{5\pi }\approx \frac{18}{15.7}\approx \mathrm{1.146.}$$

Так как $|\cos x|⩽1\text{,}$ уравнение не имеет решений.

Значит, производная не меняет знак на отрезке.

Определим знак производной: при $x=0\text{:}$

$$y^{\prime }=10\cos 0-\frac{36}{\pi }=10-\frac{36}{\pi }\approx 10-11.46<0.$$

Производная отрицательна на всем отрезке, функция убывает.

Наибольшее значение достигается в левом конце отрезка:

$$y\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=10\sin \left(-\frac{5\pi }{6}\right)-\frac{36}{\pi }\cdot \left(-\frac{5\pi }{6}\right)+7=10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+30+7=-5+30+7=32.$$

Ответ: 32