Задача №15068

Найдите точку максимума функции

$y=\ln (x+3{)}^7-7x-9\text{.}$

Найдем производную функции $y=\ln (x+3{)}^7-7x-9\text{.}$ Используем свойство логарифма: $\ln (x+3{)}^7=7\ln (x+3)$ (при $x+3>0\text{,}$ т.е. $x>-3$). Тогда $y=7\ln (x+3)-7x-9\text{.}$

Производная:

$$y^{\prime }=\frac{7}{x+3}-7.$$

Найдем критические точки:

$$\frac{7}{x+3}-7=0\Rightarrow \frac{7}{x+3}=7\Rightarrow x+3=1\Rightarrow x=-2.$$

При $x>-2$ (например, $x=0$):

$$y^{\prime }=\frac{7}{3}-7<0.$$

При $x<-2\text{,}$ но $x>-3$ (например, $x=-2.5$):

$$y^{\prime }=\frac{7}{0.5}-7=14-7>0.$$

Производная меняет знак с "+" на "-" при $x=-2\text{,}$ значит, $x=-2$ — точка максимума.

Ответ: $x=-2$