Задача №15065

а) Решите уравнение $27^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[{\log }_{7}4;{\log }_{7}16\right]\text{.}$

Уравнение: $27^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0\text{.}$ Преобразуем:

$$27^x=(3^3{)}^x=3^{3x},3^{x+2}=9\cdot 3^x,3^{5-x}=243\cdot 3^{-x}.$$

Умножим обе части на $3^x$ (положительно при всех $x$):

$$3^{4x}-36\cdot 3^{2x}+243=0.$$

Замена $t=3^{2x}>0\text{:}$

$$t^2-36t+243=0.$$

Корни: $t=27$ и $t=9\text{.}$ Тогда:

$$3^{2x}=27\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2};3^{2x}=9\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1.$$

б) Отрезок: $\left[{\log }_{7}4;{\log }_{7}16\right]\text{.}$ Оценим значения:

$${\log }_{7}4<{\log }_{7}7=1,{\log }_{7}16={\log }_7{4}^2=2{\log }_{7}4.$$

Так как $4<7<16\text{,}$ то ${\log }_{7}4<1<{\log }_{7}16\text{.}$ Для $x=1.5\text{:}$ $7^{1.5}=7\sqrt{7}>7>16?$ Проверим: $7\sqrt{7}\approx 18.52>16\text{,}$ значит, $1.5>{\log }_{7}16\text{.}$ Поэтому только $x=1$ принадлежит отрезку.

Ответ:
а) $x=\frac{3}{2},x=1$

б) $x=1$