Задача №15062

Найдите точку минимума функции $y=x^3-12x^2+36x+17\text{.}$

Найдем производную функции $y=x^3-12x^2+36x+17\text{:}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

Вычислим дискриминант:

тогда

Определим знаки производной. Запишем её в виде:

При $x<2$ (например, $x=0$): $y^{\prime }=3\cdot (-2)\cdot (-6)=36>0\text{.}$

При $2<x<6$ (например, $x=4$): $y^{\prime }=3\cdot 2\cdot (-2)=-12<0\text{.}$

При $x>6$ (например, $x=7$): $y^{\prime }=3\cdot 5\cdot 1=15>0\text{.}$

Производная меняет знак с "+" на "-" при $x=2$ (точка максимума) и с "-" на "+" при $x=6$ (точка минимума).

Ответ: $x=6\text{.}$