а) Решите уравнение 2sqrt(3)sin^2(x+(3pi)/(2))+sin 2x=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4pi;-(5pi)/(2)].

Упростим sin(x+(3pi)/(2)) по формуле приведения: sin(x+(3pi)/(2)) = -cos x => sin^2(x+(3pi)/(2)) = cos^2 x. Подставляем в уравнение: 2sqrt(3)cos^2 x + sin 2x = 0. Используем sin 2x = 2sin xcos x: 2sqrt(3)cos^2 x + 2sin xcos x = 0 => 2cos x( sqrt(3)cos x + sin x) = 0. Произведение равно нулю, когда: 1. cos x = 0 => x = (pi)/(2) + pi k, kin Z. 2. sqrt(3)cos x + sin x = 0. При cos x!= 0 делим на cos x: tg x = -sqrt(3) => x = -(pi)/(3) + pi k, kin Z. Для отбора корней на отрезке [-4pi; -(5pi)/(2)] решим неравенства для каждого семейства. 1. x = (pi)/(2) + pi k: -4pi<=(pi)/(2) + pi k<= -(5pi)/(2) => -4<=(1)/(2) + k<= -(5)/(2) => -(9)/(2)<= k<= -3. Целые k: -4 и -3. При k=-4: x = (pi)/(2) - 4pi = -(7pi)/(2). При k=-3: x = (pi)/(2) - 3pi = -(5pi)/(2). 2. x = -(pi)/(3) + pi k: -4pi<= -(pi)/(3) + pi k<= -(5pi)/(2) => -4<= -(1)/(3) + k<= -(5)/(2) => -(11)/(3)<= k<= -(13)/(6). Единственное целое k = -3. При k=-3: x = -(pi)/(3) - 3pi = -(10pi)/(3). Ответ: а) x = (pi)/(2) + pi k, kin Z ; x = -(pi)/(3) + pi k, kin Z б) -(7pi)/(2), -(5pi)/(2), -(10pi)/(3)

\(\text{а) }\left\{ \dfrac{\pi}{2} + \pi k; -\dfrac{\pi}{3} + \pi k : k\in \mathbb{Z}\right\}\) \(\text{б) }-\dfrac{7\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{10\pi}{3}.\)