Задача №15061

а) Решите уравнение

$$2\sqrt{3}{\sin }^2\left(x+\frac{3\pi }{2}\right)+\sin 2x=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right].$$

Упростим $\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)$ по формуле приведения:

$$\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=-\cos x\Rightarrow {\sin }^2\left(x+\frac{3\pi }{2}\right)={\cos }^{2}x.$$

Подставляем в уравнение:

$$2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sin 2x=0.$$

Используем $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=0\Rightarrow 2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда:

1. $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2. $\sqrt{3}\cos x+\sin x=0\text{.}$ При $\cos x\ne 0$ делим на $\cos x\text{:}$

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Для отбора корней на отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ решим неравенства для каждого семейства.

1. $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$

$$-4\pi \le \frac{\pi }{2}+\pi k\le -\frac{5\pi }{2}\Rightarrow -4\le \frac{1}{2}+k\le -\frac{5}{2}\Rightarrow -\frac{9}{2}\le k\le -3.$$

Целые $k:-4$ и $-3\text{.}$

При $k=-4\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-4\pi =-\frac{7\pi }{2}\text{.}$

При $k=-3\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}\text{.}$

2. $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k\text{:}$

$$-4\pi \le -\frac{\pi }{3}+\pi k\le -\frac{5\pi }{2}\Rightarrow -4\le -\frac{1}{3}+k\le -\frac{5}{2}\Rightarrow -\frac{11}{3}\le k\le -\frac{13}{6}.$$

Единственное целое $k=-3\text{.}$

При $k=-3\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{3}-3\pi =-\frac{10\pi }{3}\text{.}$

Ответ:
а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{7\pi }{2},-\frac{5\pi }{2},-\frac{10\pi }{3}$