Задача №15059

а) Решите уравнение

$$\cos 2x+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)+1=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Упростим уравнение, используя формулу приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x\text{:}$

$$\cos 2x+\sqrt{3}\cos x+1=0.$$

Выразим $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0\Rightarrow 2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\cos x=0.$$

Выносим общий множитель:

$$\cos x(2\cos x+\sqrt{3})=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0\text{или}2\cos x+\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z};$$ $$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

1) Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$

$$-3\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}\Rightarrow -3⩽\frac{1}{2}+k⩽-\frac{3}{2}\Rightarrow -3.5⩽k⩽-2\Rightarrow k=-3,-2.$$

При $k=-3\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}\text{;}$ при $k=-2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}\text{.}$

2) Для $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

$$-3\pi ⩽\frac{5\pi }{6}+2\pi n⩽-\frac{3\pi }{2}\Rightarrow -3⩽\frac{5}{6}+2n⩽-\frac{3}{2}\Rightarrow -\frac{23}{6}⩽2n⩽-\frac{14}{6}\Rightarrow -\frac{23}{12}⩽n⩽-\frac{7}{6}.$$

Единственное целое $n=-1\text{,}$ тогда $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}\text{.}$

3) Для $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

$$-3\pi ⩽-\frac{5\pi }{6}+2\pi n⩽-\frac{3\pi }{2}\Rightarrow -3⩽-\frac{5}{6}+2n⩽-\frac{3}{2}\Rightarrow -\frac{13}{6}⩽2n⩽-\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{13}{12}⩽n⩽-\frac{1}{3}.$$

Единственное целое $n=-1\text{,}$ тогда $x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}\text{.}$

Все найденные корни принадлежат отрезку.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z};x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $x=-\frac{5\pi }{2},-\frac{3\pi }{2},-\frac{7\pi }{6},-\frac{17\pi }{6}$