а) Решите уравнение cos 2x + sqrt(3)sin( (pi)/(2) + x) + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -3pi; -(3pi)/(2)].

а) Упростим уравнение, используя формулу приведения sin((pi)/(2)+x)=cos x: cos 2x+sqrt(3)cos x+1=0. Выразим cos 2x=2cos^2 x-1: 2cos^2 x-1+sqrt(3)cos x+1=0=> 2cos^2 x+sqrt(3)cos x=0. Выносим общий множитель: cos x (2cos x+sqrt(3))=0. Отсюда: cos x=0 или 2cos x+sqrt(3)=0=>cos x=-(sqrt(3))/(2). Решаем каждое уравнение: cos x=0=> x=(pi)/(2)+pi k, kinZ; cos x=-(sqrt(3))/(2)=> x=+-(5pi)/(6)+2pi n, ninZ. б) Найдём корни на отрезке [-3pi; -(3pi)/(2)]. 1) Для x=(pi)/(2)+pi k: -3pi (pi)/(2)+pi k -(3pi)/(2)=> -3 (1)/(2)+k -(3)/(2)=> -3.5 k -2=> k=-3,-2. При k=-3: x=(pi)/(2)-3pi=-(5pi)/(2); при k=-2: x=(pi)/(2)-2pi=-(3pi)/(2). 2) Для x=(5pi)/(6)+2pi n: -3pi (5pi)/(6)+2pi n -(3pi)/(2)=> -3 (5)/(6)+2n -(3)/(2)=> -(23)/(6) 2n -(14)/(6)=> -(23)/(12) n -(7)/(6). Единственное целое n=-1, тогда x=(5pi)/(6)-2pi=-(7pi)/(6). 3) Для x=-(5pi)/(6)+2pi n: -3pi -(5pi)/(6)+2pi n -(3pi)/(2)=> -3 -(5)/(6)+2n -(3)/(2)=> -(13)/(6) 2n -(2)/(3)=> -(13)/(12) n -(1)/(3). Единственное целое n=-1, тогда x=-(5pi)/(6)-2pi=-(17pi)/(6). Все найденные корни принадлежат отрезку. Ответ: а) x = (pi)/(2) + pi k, kin Z; x = +-(5pi)/(6) + 2pi n, nin Z б) x = -(5pi)/(2),-(3pi)/(2),-(7pi)/(6),-(17pi)/(6)

а) \( \dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}; \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) б) \( -\dfrac{17\pi}{6}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{7\pi}{6}, -\dfrac{3\pi}{2} \)