Задача №15058

Найдите точку максимума функции

$$y=x^3+10x^2+25x+16.$$

Найдем производную:

$$y^{\prime }=3x^2+20x+25.$$

Приравняем производную к нулю:

$$3x^2+20x+25=0.$$

Найдем дискриминант и корни:

$$D=20^2-4\cdot 3\cdot 25=400-300=100,$$ $$x_1=\frac{-20-10}{6}=-5,x_2=\frac{-20+10}{6}=-\frac{5}{3}.$$

Исследуем знаки производной. Квадратный трехчлен $3x^2+20x+25$ имеет положительный старший коэффициент, поэтому он отрицателен между корнями и положителен вне.
Рассмотрим интервалы:

• при $x<-5$ производная положительна;
• при $x\in (-5;-\frac{5}{3})$ производная отрицательна;
• при $x>-\frac{5}{3}$ производная положительна.

Следовательно, $x=-5$ — точка максимума.

Ответ: $x=-5$