Задача №15054

а) Решите уравнение $\sin 2x+2\sin (-x)+\cos (-x)-1=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Используем свойства: $\sin (-x)=-\sin x\text{,}$ $\cos (-x)=\cos x\text{,}$ а также $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{.}$

Подставляем в уравнение:

$$2\sin x\cos x+2(-\sin x)+\cos x-1=0\Rightarrow 2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.$$

Группируем: $(2\sin x\cos x-2\sin x)+(\cos x-1)=0\text{.}$

Выносим общие множители: $2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0\text{.}$

Далее выносим $(\cos x-1)\text{:}$ $(\cos x-1)(2\sin x+1)=0\text{.}$

Таким образом:

1. $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2. $2\sin x+1=0\Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) На отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ отберем корни:

Из серии $x=2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=2\pi \text{.}$

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ ни при каком целом $k$ корни не попадают в отрезок.

Из серии $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $x=2\pi k\text{,}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $x=2\pi \text{,}$ $x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$