Задача №15053

а) Решите уравнение

$$2\sin x+2\sqrt{3}\sin (-x)-4{\cos }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right].$$

а) Упростим уравнение: $\sin (-x)=-\sin x\text{,}$ тогда

$$2\sin x+2\sqrt{3}(-\sin x)-4{\cos }^{2}x=\sqrt{3}-4\iff (2-2\sqrt{3})\sin x-4{\cos }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$

Заменяем ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\text{:}$

$$(2-2\sqrt{3})\sin x-4(1-{\sin }^{2}x)=\sqrt{3}-4\iff 4{\sin }^{2}x+(2-2\sqrt{3})\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x\text{.}$ Дискриминант:

$$D=(2-2\sqrt{3}{)}^2+16\sqrt{3}=16+8\sqrt{3},\sqrt{D}=2+2\sqrt{3}.$$

Корни:

$$\sin x=\frac{2\sqrt{3}-2\pm (2+2\sqrt{3})}{8}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ или }\sin x=-\frac{1}{2}.$$

Решения:

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k;$$ $$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k(\iff x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{11\pi }{6}+2\pi k),k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберем корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

• Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=\frac{7\pi }{3}\text{.}$
• Для $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=\frac{8\pi }{3}\text{.}$
• Для $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$
• Для $x=\frac{11\pi }{6}+2\pi k$ корней на отрезке нет.

Ответ: $x=\frac{7\pi }{3},x=\frac{8\pi }{3},x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$