Задача №15048

Найдите наибольшее значение функции

$$y=10\sin x-\frac{42x}{\pi }-12$$

на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{6};0\right].$

Найдем производную:

$$y^{\prime }=10\cos x-\frac{42}{\pi }$$

Приравняем к нулю:

$$10\cos x-\frac{42}{\pi }=0\Rightarrow \cos x=\frac{42}{10\pi }=\frac{21}{5\pi }$$

Оценим значение: $\pi \approx 3.14\text{,}$ тогда

$$\frac{21}{5\cdot 3.14}\approx \frac{21}{15.7}\approx 1.338$$

Так как $|\cos x|\le 1\text{,}$ уравнение $\cos x=1.338$ не имеет решений.

Значит, производная не обращается в нуль на отрезке. Определим знак производной.

Вычислим $y^{\prime }(0)\text{:}$

$$y^{\prime }(0)=10\cos 0-\frac{42}{\pi }=10-\frac{42}{\pi }\approx 10-13.37=-3.37<0$$

Так как производная непрерывна и не меняет знак, то она отрицательна на всем отрезке.

Следовательно, функция убывает на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{6};0\right]\text{.}$

Поэтому наибольшее значение достигается на левом конце:

$$y\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=10\sin \left(-\frac{5\pi }{6}\right)-\frac{42}{\pi }\cdot \left(-\frac{5\pi }{6}\right)-12$$

Упростим:

$$\sin \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\sin \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{2}$$

Тогда:

$$y=10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{42}{\pi }\cdot \left(-\frac{5\pi }{6}\right)-12=-5+\frac{42\cdot 5}{6}-12=-5+35-12=18$$

Ответ: 18