Задача №15047

Найдите наименьшее значение функции

$$y=10\cos x+\frac{36x}{\pi }-6$$

на отрезке $\left[-\frac{2\pi }{3};0\right]\text{.}$

Найдем производную:

$$y^{\prime }=-10\sin x+\frac{36}{\pi }.$$

Приравняем её к нулю:

$$-10\sin x+\frac{36}{\pi }=0\Rightarrow \sin x=\frac{36}{10\pi }=\frac{18}{5\pi }\approx \frac{18}{15.708}\approx \mathrm{1.146.}$$

Так как $|\sin x|⩽1\text{,}$ уравнение $\sin x=\frac{18}{5\pi }>1$ не имеет решений. Значит, производная на отрезке $\left[-\frac{2\pi }{3};0\right]$ не обращается в ноль и имеет постоянный знак.

Проверим знак в какой-либо точке, например, при $x=0\text{:}$

$$y^{\prime }(0)=-10\cdot 0+\frac{36}{\pi }>0.$$

Следовательно, производная положительна на всем отрезке, функция возрастает.

Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка:

$$y\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=10\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{36}{\pi }\cdot \left(-\frac{2\pi }{3}\right)-6=10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-24-6=-5-24-6=-35.$$

Ответ: $-35\text{.}$