а) Решите уравнение 2cos x - sqrt(3)sin^2 x = 2cos^3 x . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -(7pi)/(2); -2pi].

Перенесем все члены в левую часть: 2cos x - sqrt(3)sin^2 x - 2cos^3 x = 0. Заменим sin^2 x = 1 - cos^2 x : 2cos x - sqrt(3) (1 - cos^2 x) - 2cos^3 x = 0. Раскроем скобки и упорядочим: 2cos^3 x - sqrt(3)cos^2 x - 2cos x + sqrt(3) = 0. Сгруппируем: (2cos^3 x - 2cos x) + (-sqrt(3)cos^2 x + sqrt(3)) = 0, 2cos x (cos^2 x - 1) - sqrt(3) (cos^2 x - 1) = 0. Выносим общий множитель: (cos^2 x - 1)(2cos x - sqrt(3)) = 0. Учитывая cos^2 x - 1 = -sin^2 x , получаем: sin^2 x (2cos x - sqrt(3)) = 0. Следовательно: 1) sin x = 0 . Тогда x = pi k, kin Z. 2) cos x = (sqrt(3))/(2) . Тогда x = +-(pi)/(6) + 2pi n, nin Z. Для отбора корней на отрезке [ -(7pi)/(2); -2pi] учтем границы: -(7pi)/(2)~ -3.5pi , -2pi . Рассмотрим корни x = pi k : При k = -3 получаем x = -3pi (входит), при k = -2 — x = -2pi (входит, правый конец). Рассмотрим корни x = (pi)/(6) + 2pi n : При n = -1 — x = -(11pi)/(6) (не входит, так как -(11pi)/(6) > -2pi ), других подходящих нет. Рассмотрим корни x = -(pi)/(6) + 2pi n : При n = -1 — x = -(13pi)/(6) (входит, так как -(13pi)/(6)~ -6.81 лежит между -(7pi)/(2)~ -10.99 и -2pi~ -6.28 ). Ответ: а) x = pi k,kin Z;x = +-(pi)/(6) + 2pi n,nin Z . б) -3pi,-2pi,-(13pi)/(6) .

а) \( \pi k, k \in \mathbb{Z}; \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) б) \( -3\pi, -2\pi, -\dfrac{13\pi}{6} \)