Задача №15046

а) Решите уравнение
$2\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=2{\cos }^{3}x\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right].$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$2\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2{\cos }^{3}x=0.$$

Заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x\text{:}$

$$2\cos x-\sqrt{3}(1-{\cos }^{2}x)-2{\cos }^{3}x=0.$$

Раскроем скобки и упорядочим:

$$2{\cos }^{3}x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x-2\cos x+\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем:

$$(2{\cos }^{3}x-2\cos x)+(-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sqrt{3})=0,$$ $$2\cos x({\cos }^{2}x-1)-\sqrt{3}({\cos }^{2}x-1)=0.$$

Выносим общий множитель:

$$({\cos }^{2}x-1)(2\cos x-\sqrt{3})=0.$$

Учитывая ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x\text{,}$ получаем:

$${\sin }^{2}x(2\cos x-\sqrt{3})=0.$$

Следовательно:

1) $\sin x=0\text{.}$ Тогда

$$x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2) $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Тогда

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Для отбора корней на отрезке

$$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$$

учтем границы: $-\frac{7\pi }{2}\approx -3.5\pi \text{,}$ $-2\pi \text{.}$

Рассмотрим корни $x=\pi k\text{:}$

При $k=-3$ получаем $x=-3\pi$ (входит), при $k=-2$ — $x=-2\pi$ (входит, правый конец).

Рассмотрим корни $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

При $n=-1$ — $x=-\frac{11\pi }{6}$ (не входит, так как $-\frac{11\pi }{6}>-2\pi$), других подходящих нет.

Рассмотрим корни $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

При $n=-1$ — $x=-\frac{13\pi }{6}$ (входит, так как $-\frac{13\pi }{6}\approx -6.81$ лежит между $-\frac{7\pi }{2}\approx -10.99$ и $-2\pi \approx -6.28$).

Ответ:

а) $x=\pi k,k\in \mathbb{Z};x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $-3\pi ,-2\pi ,-\frac{13\pi }{6}\text{.}$