Задача №15040

Прямая $g(x)=kx$ проходит через начало координат и точку $(1,3)\text{,}$ откуда $k=3\text{,}$ значит $g(x)=3x\text{.}$

Парабола $f(x)=a{x}^2+bx+c$ проходит через точку $A(0,0)\text{,}$ следовательно $c=0\text{.}$

Также она проходит через точку $(3,0)\text{:}$

$$9a+3b=0\text{или}3a+b=0.$$

И через точку $(4,4)\text{:}$

$$16a+4b=4\text{или}4a+b=1.$$

Решаем систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}3a+b=0,\\ 4a+b=1.\end{array}$$

Вычитаем второе из первого: $a=1\text{.}$ Тогда из первого уравнения $3\cdot 1+b=0\text{,}$ откуда $b=-3\text{.}$ Итак, $f(x)=x^2-3x\text{.}$

Точки пересечения графиков находим из уравнения:

$$x^2-3x=3x\Rightarrow x^2-6x=0\Rightarrow x(x-6)=0.$$

Корни уравнения: $x=0$ (точка $A$) и $x=6$ (точка $B$).

Ответ: $6\text{.}$