Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 35 км от А. Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.
Пусть v км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению v + 3 км/ч, против течения v - 3 км/ч. Время движения по течению (35)/(v+3) ч, против течения (35)/(v-3) ч. Общее время с 10:00 до 18:00 составляет 8 часов, из которых 4 часа — стоянка. Значит, время движения 4 часа: (35)/(v+3) + (35)/(v-3) = 4. Умножим обе части уравнения на (v+3)(v-3) : 35(v-3) + 35(v+3) = 4(v^2 - 9). Упростим: 35v - 105 + 35v + 105 = 4v^2 - 36, 70v = 4v^2 - 36. Перенесем все члены в одну сторону: 4v^2 - 70v - 36 = 0. Разделим обе части на 2: 2v^2 - 35v - 18 = 0. Найдем дискриминант: D = (-35)^2 - 4* 2* (-18) = 1225 + 144 = 1369. Корень из дискриминанта sqrt(1369) = 37 . Найдем корни уравнения: v = (35 + 37)/(4) = (72)/(4) = 18. Скорость катера положительна, поэтому v = 18 . Ответ: 18 км/ч.
\(18\)