Задача №15000

Найдите точку максимума функции $y=10\cdot \ln (x-2)-10x+11\text{.}$

Найдем производную заданной функции. Область определения: $x>2\text{.}$

Производная определена при $x>2\text{.}$ Найдем нули производной: $x=3\text{.}$ Определим знаки производной на интервалах $(2;3)$ и $(3;+\infty )\text{.}$ При $x=2,5\text{:}$ $y^{\prime }(2,5)=\frac{10(3-2,5)}{2,5-2}=\frac{10\cdot 0,5}{0,5}=10>0\text{.}$ При $x=4\text{:}$ $y^{\prime }(4)=\frac{10(3-4)}{4-2}=\frac{10\cdot (-1)}{2}=-5<0\text{.}$ Значит, производная меняет знак с "+" на "-" в точке $x=3\text{.}$

Ответ: $x=3$