Найдите наименьшее значение функции y = xsqrt(x) - 9x + 25 на отрезке [1; 50].

Задача №14980: Производная и первообразная

Найдите наименьшее значение функции $y = x x - 9 x + 25$ на отрезке $[1; 50] .$

Функция: $y = x x - 9 x + 25 = x^{3/2} - 9 x + 25$ на отрезке $[1; 50] .$

Найдем производную:

y^{'} = \frac{3}{2} x^{1/2} - 9 = \frac{3}{2} x - 9.

Приравняем к нулю:

\frac{3}{2} x - 9 = 0 \Rightarrow \frac{3}{2} x = 9 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow x = 36.

Точка $x = 36$ принадлежит отрезку $[1; 50] .$

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

y (1) = 1 - 9 + 25 = 17,

y (36) = 3 6^{3/2} - 9 \cdot 36 + 25 = 216 - 324 + 25 = - 83,

y (50) = 5 0^{3/2} - 450 + 25 = 5050 - 425 \approx 353.55 - 425 = - 71.45.

Ответ: $- 83 .$