Найдите точку минимума функции y = (8x^2 - 40x + 40)e^(x + 4).

Задача №14952: Производная и первообразная

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения:

y^{'} = (16 x - 40) e^{x + 4} + (8 x^{2} - 40 x + 40) e^{x + 4} = e^{x + 4} (8 x^{2} - 24 x) = 8 x (x - 3) e^{x + 4}

Так как $e^{x + 4} > 0,$ то знак производной определяется выражением $8 x (x - 3) .$

Приравняем к нулю:

8 x (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 или x = 3.

Исследуем знаки: при $x < 0$ производная положительна, при $x \in (0, 3)$ — отрицательна, при $x > 3$ — положительна.

Значит, $x = 3$ — точка минимума.

Ответ: $x = 3$

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения:

y^{'} = (16 x - 40) e^{x + 4} + (8 x^{2} - 40 x + 40) e^{x + 4} = e^{x + 4} (8 x^{2} - 24 x) = 8 x (x - 3) e^{x + 4}

Так как $e^{x + 4} > 0,$ то знак производной определяется выражением $8 x (x - 3) .$

Приравняем к нулю:

8 x (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 или x = 3.

Исследуем знаки: при $x < 0$ производная положительна, при $x \in (0, 3)$ — отрицательна, при $x > 3$ — положительна.

Значит, $x = 3$ — точка минимума.

Ответ: $x = 3$