Задача №14916

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

$$\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$

где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega =50^{\circ }/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =4^{\circ }/{\text{мин}}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\phi$ достиг $2500^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в минутах.

Подставим значения в формулу:

$$2500=50t+\frac{4t^2}{2}=50t+2t^2.$$

Получим квадратное уравнение:

$$2t^2+50t-2500=0.$$

Разделим на 2:

$$t^2+25t-1250=0.$$

Дискриминант:

$$D=25^2-4\cdot 1\cdot (-1250)=625+5000=5625=75^2.$$

Положительный корень:

$$t=\frac{-25+75}{2}=\frac{50}{2}=25\text{ минут}.$$

Ответ: 25 минут.