Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа. Ответ дайте в км/ч.

Пусть v км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению v + 3 км/ч, против течения v - 3 км/ч. Время движения по течению (567)/(v + 3) ч, против течения (567)/(v - 3) ч. Общее время в пути без стоянки: 54 - 6 = 48 часов. Составим уравнение: (567)/(v + 3) + (567)/(v - 3) = 48. Упростим уравнение. Разделим обе части на 3: (189)/(v + 3) + (189)/(v - 3) = 16. Умножим обе части на (v+3)(v-3): 189(v-3) + 189(v+3) = 16(v^2 - 9). Раскроем скобки и приведём подобные: 189v - 567 + 189v + 567 = 16v^2 - 144, 378v = 16v^2 - 144. Перенесём все слагаемые в одну сторону: 16v^2 - 378v - 144 = 0. Разделим уравнение на 2: 8v^2 - 189v - 72 = 0. Найдём дискриминант: D = 189^2 + 4* 8* 72 = 35721 + 2304 = 38025, sqrt(D) = 195. Корни уравнения: v = (189+- 195)/(16). Вычислим положительный корень: v = (189 + 195)/(16) = (384)/(16) = 24. Ответ: 24 км/ч.

\(24\)