Задача №14907

Найдите точку минимума функции $y=x^3-20x^2+100x+23\text{.}$

Найдём производную:
$y^{\prime }=3x^2-40x+100\text{.}$

Приравняем её к нулю:
$3x^2-40x+100=0\text{.}$

Найдём дискриминант:
$D=1600-1200=400\text{.}$

Корни:
$x_1=\frac{40-20}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\approx 3.333\text{,}$ $x_2=\frac{40+20}{6}=10\text{.}$

Исследуем знаки производной. Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, поэтому он отрицателен между корнями и положителен вне.

При $x<\frac{10}{3}$ производная положительна, при $x\in \left(\frac{10}{3};10\right)$ — отрицательна, при $x>10$ — положительна.

Значит, $x=10$ — точка минимума (производная меняет знак с минуса на плюс).

Ответ: $x=10$