Задача №14880

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=192\text{ Гц}\text{.}$ Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону

$$f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\text{ (Гц)},$$

где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300\text{ м/с}\text{.}$ Ответ дайте в $\text{м/с}\text{.}$

Дано:

$$f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}},f_0=192\text{ Гц},c=300\text{ м/с},f(v)-f_0\ge 8\text{ Гц}.$$

Найти минимальную скорость $v\text{.}$

Подставим известные значения в неравенство:

$$\frac{192}{1-\frac{v}{300}}-192\ge 8.$$

Вынесем 192:

$$192\left(\frac{1}{1-\frac{v}{300}}-1\right)\ge 8.$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{1-\frac{v}{300}}-1=\frac{1-(1-\frac{v}{300})}{1-\frac{v}{300}}=\frac{\frac{v}{300}}{1-\frac{v}{300}}.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$192\cdot \frac{\frac{v}{300}}{1-\frac{v}{300}}\ge 8.$$

Упростим:

$$\frac{192v}{300\left(1-\frac{v}{300}\right)}\ge 8.$$

Сократим 192 и 300 на 12:

$$\frac{16v}{25\left(1-\frac{v}{300}\right)}\ge 8.$$

Умножим обе части на знаменатель (положительный, так как $v<300$):

$$\frac{16v}{25}\ge 8\left(1-\frac{v}{300}\right).$$

Умножим обе части на 25:

$$16v\ge 200\left(1-\frac{v}{300}\right).$$

Раскроем скобки:

$$16v\ge 200-\frac{200v}{300}.$$

Упростим дробь:

$$16v\ge 200-\frac{2v}{3}.$$

Перенесём слагаемые с $v$ в одну сторону:

$$16v+\frac{2v}{3}\ge 200.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{48v+2v}{3}\ge 200,\text{или}\frac{50v}{3}\ge 200.$$

Умножим обе части на 3:

$$50v\ge 600.$$

Разделим на 50:

$$v\ge 12.$$

Ответ: 12 м/с.