Задача №14870

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

$$\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2},$$

где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega =15\text{ град.}/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6\text{ град.}/{\text{мин}}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\phi$ достиг $2250^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в минутах.

Подставим значения в формулу:

$$2250=15t+\frac{6t^2}{2}.$$

Упростим:

$$2250=15t+3t^2.$$

Получим квадратное уравнение:

$$3t^2+15t-2250=0.$$

Разделим обе части на 3:

$$t^2+5t-750=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-750)=25+3000=3025.$$

Так как $3025=55^2\text{,}$ то

$$t=\frac{-5+55}{2}=\frac{50}{2}=25.$$

Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 25 минут.