Задача №14802

Найдите значение выражения $2\sqrt{3}{\cos }^2\frac{13\pi }{12}-\sqrt{3}\text{.}$

Преобразуем выражение:

[
2\sqrt{3}\cos^2\dfrac{13\pi}{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(2\cos^2\dfrac{13\pi}{12} - 1)
]

Заметим, что $2{\cos }^2\alpha -1=\cos 2\alpha \text{.}$

Тогда:

[
\sqrt{3}\cos\left(2\cdot\dfrac{13\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos\dfrac{13\pi}{6} = \sqrt{3}\cos\left(2\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}
]

Ответ: $\frac{3}{2}$