Задача №14749

Водолазный колокол, содержащий $\nu =6$ моль воздуха при давлении $p_1=2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле

$$A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{p_2}{p_1},$$

где $\alpha =5,75\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ — постоянная, $T=300\text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Подставим известные значения в формулу работы:

$$A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}.$$

Получаем:

$$10350=5,75\cdot 6\cdot 300\cdot {\log }_2\frac{p_2}{2,5}.$$

Вычислим произведение констант:

$$5,75\cdot 6=34,5;34,5\cdot 300=10350.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$10350=10350\cdot {\log }_2\frac{p_2}{2,5}.$$

Разделим обе части на 10,350:

$$1={\log }_2\frac{p_2}{2,5}.$$

По определению логарифма:

$$\frac{p_2}{2,5}=2^1=2.$$

Отсюда:

$$p_2=2\cdot 2,5=5.$$

Ответ: 5 атмосфер.