Задача №14648

Многогранник с вершинами $A,B,C,B_1$ — это треугольная пирамида (тетраэдр) $ABC{B}_1\text{.}$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известно: $AB=9\text{,}$ $BC=6\text{,}$ $A{A}_1=5\text{.}$

Рассмотрим пирамиду $ABC{B}_1\text{.}$ За основание можно взять треугольник $ABC$ (в плоскости нижнего основания). В прямоугольнике $ABCD\text{:}$ $AB=9\text{,}$ $BC=6\text{,}$ $\angle B=90^{\circ }\text{.}$

Найдём площадь треугольника $ABC\text{:}$

$$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6=27.$$

Высота пирамиды, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость $ABC\text{,}$ равна высоте параллелепипеда $A{A}_1=5\text{,}$ так как $B_1$ проектируется в $B\text{.}$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 5=45.$$

Ответ: 45.