Задача №14647 — Простейшая стереометрия (Математика (профиль) ЕГЭ)

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1.

Пусть дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1 с площадью основания S_(ABC)=8 и боковым ребром AA_1=6. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, C и B_1. Эта плоскость пересекает призму по треугольнику ACB_1 и делит призму на два многогранника: тетраэдр ABCB_1 (он содержит точку B); многогранник с вершинами A, C, A_1, B_1, C_1 (он лежит по другую сторону этой плоскости). Следовательно, объём искомого многогранника равен разности объёма призмы и объёма тетраэдра ABCB_1. Объём призмы: V_(пр) = S_(ABC)* AA_1 = 8* 6 = 48. Объём тетраэдра ABCB_1: его основание ABC имеет площадь 8, а высота равна расстоянию от B_1 до плоскости ABC, то есть BB_1=6. Тогда V_(ABCB_1) = (1)/(3)* 8* 6 = 16. Значит, V = 48 - 16 = 32. Ответ: 32.

\(32\)