Задача №14647

Дана правильная треугольная призма $ABC{A}_1{B}_1{C}_1\text{,}$ площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A\text{,}$ $C\text{,}$ $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{.}$

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ с площадью основания $S_{ABC}=8$ и боковым ребром $A{A}_1=6\text{.}$

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A\text{,}$ $C$ и $B_1\text{.}$ Эта плоскость пересекает призму по треугольнику $AC{B}_1$ и делит призму на два многогранника:

• тетраэдр $ABC{B}_1$ (он содержит точку $B$);
• многогранник с вершинами $A\text{,}$ $C\text{,}$ $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ (он лежит по другую сторону этой плоскости).

Следовательно, объём искомого многогранника равен разности объёма призмы и объёма тетраэдра $ABC{B}_1\text{.}$

Объём призмы:

Объём тетраэдра $ABC{B}_1\text{:}$ его основание $ABC$ имеет площадь $8\text{,}$ а высота равна расстоянию от $B_1$ до плоскости $ABC\text{,}$ то есть $B{B}_1=6\text{.}$ Тогда

Значит,

Ответ: $32\text{.}$