Задача №14637

Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу $AB\text{,}$ значит

$$\cup AB=2\cdot 32^{\circ }=64^{\circ }.$$

Угол $AOD$ — центральный, опирающийся на дугу $AD\text{.}$ Дуга $AD$ равна дуге $AB$ плюс дуга $BD\text{.}$

Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, то дуга $BD$ равна $180^{\circ }\text{.}$

Тогда

$$\cup AD=\cup AB+\cup BD=64^{\circ }+180^{\circ }=244^{\circ }.$$

Центральный угол $AOD$ равен дуге $AD\text{,}$ на которую он опирается, то есть $244^{\circ }\text{.}$ Но так как угол $AOD$ должен быть меньше $180^{\circ }\text{,}$ то берем меньшую дугу:

$$360^{\circ }-244^{\circ }=116^{\circ }.$$

Ответ: $116^{\circ }\text{.}$