Дана правильная треугольная призма ABC A_1 B_1 C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1.

Многогранник с вершинами B, C, A_1, B_1, C_1 — это четырёхугольная пирамида BCA_1B_1C_1 с основанием BCC_1B_1 (прямоугольник) и вершиной A_1 . В правильной призме основание — правильный треугольник ABC площадью 4, боковое ребро BB_1 = 6 . Сторона основания a находится из формулы площади правильного треугольника: S = (sqrt(3))/(4) a^2 = 4, откуда a^2 = (16)/(sqrt(3)). Высота треугольника h = (sqrt(3))/(2) a. Прямоугольник BCC_1B_1 имеет стороны BC = a и BB_1 = 6 . Его площадь: S_(осн пир) = a* 6. Высота пирамиды A_1 до плоскости BCC_1B_1 равна расстоянию от точки A_1 до этой плоскости, которое равно высоте треугольника ABC (так как A_1 проецируется в точку A , а расстояние от A до прямой BC равно h ). Таким образом, высота пирамиды H = h = (sqrt(3))/(2) a. Объём пирамиды: V = (1)/(3) S_(осн)* H = (1)/(3)* (6a) *( (sqrt(3))/(2) a) = (1)/(3)* 6*(sqrt(3))/(2)* a^2 = sqrt(3)* a^2. Подставляем a^2 = (16)/(sqrt(3)) : V = sqrt(3)*(16)/(sqrt(3)) = 16. Ответ: 16

\(16\)