Задача №14628

Многогранник с вершинами $B,C,A_1,B_1,C_1$ — это четырёхугольная пирамида $BC{A}_1{B}_1{C}_1$ с основанием $BC{C}_1{B}_1$ (прямоугольник) и вершиной $A_1\text{.}$

В правильной призме основание — правильный треугольник $ABC$ площадью 4, боковое ребро $B{B}_1=6\text{.}$ Сторона основания $a$ находится из формулы площади правильного треугольника:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=4,$$

откуда

$$a^2=\frac{16}{\sqrt{3}}.$$

Высота треугольника

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Прямоугольник $BC{C}_1{B}_1$ имеет стороны $BC=a$ и $B{B}_1=6\text{.}$ Его площадь:

$$S_{\text{осн пир}}=a\cdot 6.$$

Высота пирамиды $A_1$ до плоскости $BC{C}_1{B}_1$ равна расстоянию от точки $A_1$ до этой плоскости, которое равно высоте треугольника $ABC$ (так как $A_1$ проецируется в точку $A\text{,}$ а расстояние от $A$ до прямой $BC$ равно $h$). Таким образом, высота пирамиды

$$H=h=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot (6a)\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2=\sqrt{3}\cdot a^2.$$

Подставляем $a^2=\frac{16}{\sqrt{3}}\text{:}$

$$V=\sqrt{3}\cdot \frac{16}{\sqrt{3}}=16.$$

Ответ: 16