Задача №14571

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $41^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну дугу $AD\text{,}$ поэтому $\angle ABD=\angle ACD=62^{\circ }\text{.}$

Угол $CAD$ равен $41^{\circ }\text{.}$

В треугольнике $ACD\text{:}$
$\angle ADC=180^{\circ }-\angle CAD-\angle ACD=180^{\circ }-41^{\circ }-62^{\circ }=77^{\circ }\text{.}$

В четырёхугольнике $ABCD\text{,}$ вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$
$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle ABC=180^{\circ }-77^{\circ }=103^{\circ }\text{.}$

Ответ: $103^{\circ }$