Задача №14546 — Простейшая стереометрия (Математика (профиль) ЕГЭ)

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

Обозначим основания призмы треугольниками ABC и A_1B_1C_1. Пусть M и N — середины двух сторон треугольника ABC, тогда MN — средняя линия. Плоскость, проходящая через MN и параллельная боковым рёбрам призмы, отсекает треугольную призму с основанием AMN. Высота (расстояние между плоскостями оснований) у отсечённой призмы и у исходной одинаковая, поэтому (V_(AMN))/(V_(ABC))=(S_(AMN))/(S_(ABC)). Треугольники AMN и ABC подобны с коэффициентом (1)/(2), значит (S_(AMN))/(S_(ABC))=((1)/(2))^2=(1)/(4). Следовательно, V_(AMN)=(1)/(4) V_(ABC). По условию V_(AMN)=15, тогда V_(ABC)=15* 4=60. Ответ: 60

\(60\)