В студенческой группе из 30 человек 20 студентов сдали экзамен по истории, а 15 студентов — по философии. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1. Найдётся хотя бы 5 студентов, которые сдали оба экзамена. 2. Каждый студент, сдавший историю, сдал и философию. 3. В группе нет ни одного студента, который сдал оба экзамена. 4. Не более 15 студентов сдали оба экзамена.

Пусть в группе 30 человек. Из них 20 сдали историю, 15 — философию. Найдём минимальное количество студентов, сдавших оба экзамена. Оно достигается в случае, когда каждый студент группы сдал хотя бы один экзамен: 20 + 15 - 30 = 5. Значит, оба экзамена сдали как минимум 5 студентов. Найдём максимальное количество студентов, сдавших оба экзамена. Оно не может превышать количество студентов, сдавших философию (так как их меньше, чем сдавших историю), то есть равно 15. Это возможно, если все студенты, сдавшие философию, также сдали историю. Таким образом, оба экзамена сдали от 5 до 15 человек. Проверим утверждения: 1. Найдётся хотя бы 5 студентов, которые сдали оба экзамена — верно. 2. Каждый студент, сдавший историю, сдал и философию — неверно, так как философию сдали только 15 студентов, а историю — 20. 3. В группе нет ни одного студента, который сдал оба экзамена — неверно (таких студентов от 5 до 15). 4. Не более 15 студентов сдали оба экзамена — верно. Верными являются утверждения 1 и 4. Ответ: 14.

14